Die geometrische Reihe ist eine sehr wichtige Reihe, so dass du nicht drum herum kommen wirst dich mit deiner Formel 10.4.5 auseinanderzusetzen.

Für einen Quotienten \(q\) mit \(|q|<1\) gilt \(a_0\cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} q^k=a_0 \cdot \dfrac{1}{1-q}}\). 

Für die \(n\)-te Partielsumme der geometrische Reihe ergibt sich die endliche Form der Summe: \(s_n=\displaystyle{a_0 \cdot \sum_{k=0}^n q^k}\).

Deine Übungen dienen dazu dich zu zwingen diese Formeln immer wieder anzuwenden, damit du sie im Kopf behälst. Die Lösungen dazu sind außerdem alle als Kontrolle vorhanden.

Betrachte mal als Beispiel (1)(a):

Du sollst die \(n\)-te Partialsumme aufstellen. Naja das ist doch einfach nur (sehr ausführlich aufgeschrieben):

\(s_n=1+\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3^2} +\ldots + \dfrac{1}{3^{n-1}}=\dfrac{1}{3^0} +\dfrac{1}{3^1} +\dfrac{1}{3^2} +\ldots +\dfrac{1}{3^{n-1}} =\left(\dfrac{1}{3}\right)^0 +\left(\dfrac{1}{3}\right)^1 +\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 +\ldots +\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k} =\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k} +\left(\dfrac{1}{3}\right)^n -\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{3}\right)^k }-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

In (b) folgerst du nun einfach mit deiner Formel 10.4.5:

\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} s_n =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \displaystyle{\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{3}\right)^k -\left(\dfrac{1}{3}\right)^n =\sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k -0 \overset{10.4.5}{=} \dfrac{1}{1-\frac{1}{3}}} =\dfrac{3}{2}\)

Versuche in den anderen Aufgaben immer die Summenformel aufzustellen und deine Formel 10.4.5 anzuwenden.

Das mehrmalige Aufschreiben der Formel hilft dir, diese zu verinnerlichen, getreu dem Motto: durch die Hand in den Verstand.

Hoffe das hilft weiter.