Dein Beweis ist ok, der kommt sogar ohne die Induktionsannahme aus. Man braucht für den ganzen Beweis auch eigentlich keine Induktion.
Aber die Idee ist wohl, die Induktion an einem einfachen Beispiel zu üben.
Es gilt \((n+1)^2 = n^2+2n+1 \ge \) denn nach Ind.Ann. ist \(n^2\ge 2n+3\)
\(\ge 2n+3+2n+1 \) ab hier ist Quadrat weg.
Es wäre auch richtig, \(2n+3\ge 9\) zusätzlich einzubringen, aber dann sind alle n weg und man kommt nicht mehr auf 2n+5.
Es geht hier nicht um wundersame Zahlenverwandlung ("aus ... wird ..."), sondern um Abschätzungen. Das ist die Anwendung der Regel: \(a\ge b \Longrightarrow a+c\ge b+c\). Heißt: Wenn man in einer Summe einen Summanden durch was kleineres ersetzt, wird die ganze Summe kleiner.Diese Technik kommt sehr oft (beim Beweisen mit Induktion, von Konvergenz u.a.) Mit deiner Methode von Äquivalenzumformungen kommt man oft nicht durch (und wenn ja, dann mit viel mehr Schreibarbeit)..
Alles klar?
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Ah, die Folgen und Reihen sind auch ein Rätsel für mich. Aber mit dem Hinweis hat es wohl geklickt, hoffe ich.
Für n_0 rechnen wir vor dass das gilt. Inkrementiere ich nun n_0 wird links 2n+1 addiert. Und deswegen mache ich damit die Abschätzung für die Inkrementierung der rechten Seite. Und dann sehe ich, dass das tatsächlich so ist.
Danke ─ stehgold 04.10.2020 um 17:47