Bei dem Exponenten bei dem \(\arctan\) handelt es sich um einen Fehler, da dürfte keine 3 im Exponenten stehen. Übrigens müsste in der vierten Zeile auf dem ersten Bild das \(+2\pi k\) mit oben auf dem Bruchstrich stehen und nicht dahinter, aber das wird danach richtig gemacht. Eigentlich ist man an dieser Stelle schon fertig, alles, was danach kommt,ist nichts Neues mehr. Außerdem gilt \(\arccos\left(\frac{\sqrt3}2\right)=\frac\pi6\), sodass sich das Ergebnis noch ein bisschen vereinfachen lässt.

Zu deiner zweiten Frage: Der Arkustangens ist eine Funktion \(\arctan\colon\ \mathbb R\to \ ]-\frac\pi2,\frac\pi2[\). Folglich wäre \(\arctan\frac5{12}\) ein Winkel im ersten Quadranten, während du einen Winkel im dritten Quadranten suchst. (Wegen \(\frac5{12}=\frac{-5}{-12}\) kann der Arkustangens diese beiden Winkel nicht unterscheiden.) Deshalb muss man durch Addition oder Subtraktion von \(\pi\) den Winkel in den richtigen Quadranten rücken. Die vollständige Formel dafür ist $$\varphi=\begin{cases}\arctan\frac yx,&x>0,\\\arctan\frac yx+\pi,&x<0,y\geq0,\\\arctan\frac yx-\pi,&x,y<0,\\\frac\pi2,&x=0,y>0,\\-\frac\pi2,&x=0,y<0.\end{cases}$$ Wie du siehst, gibt es ziemlich viele Fälle. Einfacher ist da die Formel mit dem Arkuscosinus, die du ja schon auf deinem Blatt stehen hast. Die kommt mit nur zwei verschiedenen Fällen aus.

Ich hoffe, das beantwortet deine Fragen. Ansonsten kannst du gerne nochmal nachfragen.