Also erstens, ja genau (0,0) ist die kritische Stelle, da man für diesen Punkt durch Null teilen müsste und dies nicht definiert ist (erläutere ich gleich näher)

Dein Kommilitonen hat die Funktion f(x,y) partiell differenziert nach x und y (auch richtig). Dann hat er erkannt, dass (0,0) die kritische Stelle ist, da man sonst durch Null teilen müsste. Dies bedeutet allerdings noch nicht, dass f(x,y) in (0,0) nicht diffbar ist (hierzu später mehr).

Es folgt normalerweise eine Fallunterscheidung mit:

1.Fall: f(x,y) ungleich (0,0)

2. Fall:  f(x,y) = (0,0)

Der 1. Fall ist trivial, da ein Satz aus der VL besagt, dass die Verknüpfung differenzierbarer Funktion differenzierbar ist, also ist f(x,y) schon mal für alle (x,y) ungleich (0,0) differenzierbar.

Den 2. Fall prüft man mit der Definition der Differenzierbarkeit oder über die partielle Ableitung in (0,0) (ein Satz besagt, dass wenn die Funktion f(x,y) in (0,0) stetig ist und die partielle Ableitung in (0,0) existiert, dann ist die Funktion f(x,y) in (0,0) differenzierbar). Dein Kommilitonen hat vermutet, dass die Funktion nicht in (0,0) differenzierbar ist und hat deswegen geprüft ob die Funktion stetig ist, wenn man für einen Wert 0, hier y = 0, in die andere partielle Ableitung einsetzt. (denn eine nicht-stetige Funktion ist nicht differenzierbar). Hierbei kam heraus, dass (2x)/(|x|) und diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig, also ist f in (0,0) nicht diffbar.

Also ist deine Funktion f(x,y) in allen Punkten diffbar, außer (0,0)

Die Rechung mit 2 für x > 0 und -2 für x < 0 liegt am Betrag. Ganz platt gesagt:

Setzt du für x in (2x)/(|x|) etwas mit x < 0 ein, bsp. -1, dann hast du: -2/|-1| = -2/1 = -2. Setzt du aber für x in (2x)/(|x|) etwas mit x > 0 ein, bsp. 1, dann hast du 2/|1| = 2. Also hat (2x)/(|x|) eine Sprungstelle und ist somit nicht stetig (lass dir die Funktion mal bei WolframAlpha zeichnen, zur Verdeutlichung).

Ich hoffe das hilft dir etwas! :)