(Twitter)
Die punktweise Konvergenz ist soweit in Ordnung. Allerdings ist die Folge auch gleichmäßig konvergent, womit sich dieser Teil erübrigt. Im Prinzip hast du eigentlich alles aufgeschrieben, was man für den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz braucht. Du musst es nur noch richtig hinschreiben.
Ich würde es folgendermaßen machen:
Zunächst gilt \( f_n^\prime(x) = \frac{1}{(nx+1)^2} > 0 \). Die Funktionen \( f_n \) sind also monoton wachsend. Es folgt somit
\( f_n (x) \le \lim_{y \to \infty} f_n(y) = \frac{1}{n} \).
Hieraus ergibt sich nun
\( 0 \le \sup_{x \in [0,\infty)} \vert f_n(x) - 0 \vert = \sup_{x \in [0,\infty)} f_n(x) \le \frac{1}{n} \)
und somit
\( \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,\infty)} \vert f_n(x) - 0 \vert = 0 \)
Die Funktionenfolge konvergiert also gleichmäßig und somit auch punktweise gegen die Nullfunktion.
Student, Punkte: 7.02K
Sei \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) eine monoton wachsende Folge mit Grenzwert \( a \). Angenommen, es gäbe ein Folgenglied, das größer ist als der Grenzwert, also es gibt ein \( a_k \) mit \( a_k > a \). Nach der Definition des Grenzwerts können wir ein \( n_0 \) finden, sodass \( \vert a_n - a \vert < a_k - a \) für alle \( n \ge n_0 \) gilt. Insbesondere finden wir ein \( l > k \) mit \( \vert a_l - a \vert < a_k - a \). Hieraus folgt aber \( a_l < a_k \), im Widerspruch dazu, dass die Folge monoton wächst. Die Annahme muss also falsch gewesen sein. Alle Folgenglieder müssen kleiner/gleich dem Grenzwert sein. ─ 42 11.01.2021 um 15:43