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Es wurde einfach eine Nulladdition der \(5\) durchgeführt und danach die -1 ausgeklammert, damit sich der Bruch im Integral wegkürzt und man einfacher die Stammfunktion findet. Also wie folgt:
\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \dfrac{5+x}{5-x} dx =\int_{-1}^1 \dfrac{5+5-5+x}{5-x}dx =\int_{-1}^1 \dfrac{10-5+x}{5-x} dx =\int_{-1}^1 \dfrac{10-(5-x)}{5-x} dx =\int_{-1}^1 \dfrac{10}{5-x} -1 dx =-10\cdot \int_{-1}^1 \dfrac{1}{x-5} dx -\int_{-1}^1 1dx =-10\cdot [\ln(|x-5|)]_{-1}^1 -[x]_{-1}^1 =\ldots}\)
Hoffe das hilft dir weiter.
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maqu
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\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \dfrac{10}{5-x} -1 dx =\int_{-1}^1 \dfrac{10}{5-x}dx -\int_{-1}^1 1dx}\)
Die 10 hat keinen Einfluss auf das Bilden der Stammfunktion und kann wegen der Faktorregel einfach vor das Integral gezogen werden. Das Minus kommt daher, weil ich im Nenner eine -1 ausgeklammert hab und statt \(\dfrac{1}{5-x}\) und das Integral von \(\dfrac{1}{x-5}\) betrachte.
Ich kann das auch nicht machen und erhalten dann als \(-\ln(|5-x|)=-\ln(|x-5|)\) Stammfunktion von \(\dfrac{1}{5-x}\), wegen der Kettenregel (innere Ableitung wäre -1). Aber da kommt das selbe raus und man muss da nicht aufs Vorzeichen achten, weil die innere Ableitung von \(x-5\) lediglich 1 ist. ─ maqu 15.01.2021 um 12:27