habe mir das Video jetzt nicht angesehen, aber für  zum Ursprung punktsymmetrische Funktionen gilt   f(-x)= - f(x)   das kann nur gelten, wenn die geraden Exponenten nicht vorhanden sind.  Entsprechend gilt für die Symmetrie zur y-Achse   f(-x) = f(x)   ;

du kannst es dir vll an einer einfachen Funktion  x^3; x^3+1, x^2, x^2+x zeichnerisch klar machen

Sobald also eine Angabe lautet, Symmetrie zu...., lässt man einfach die "unbrauchbaren" Terme weg
 

In dem Video geht es darum, aus vorgegebenen Informationen ein Polynom 3.Grades zu bestimmen.
Info 1 ist : die Funktion (das Polynom) ist punktsymmetrisch.
Info 2 ist: die Funktion hat eine waagerechte Tangente bei x=2;
Info 3 ist: die Funktion geht durch den Punkt P(4; 1).
Die allgemeine Form eines Polynoms 3.Grades ist :\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
Aus der Info Punktsymmetrie folgt: b=0 und d=0. Warum? da musst du dir klarmachen, was Punktsymmetrie bedeutet.
Es bedeutet: wenn für x= 7 der Wert f(7) = 4 ist, dann ist bei x= -7 der Wert f(-7) = -4 = -f(7)
in allgemeiner Schreibweise: siehe oben bei @monimust: f(-x)= -f(x) . 
Das funktioniert z.B. bei der Funktion f(x)= (-5)x: nachprüfen ob f(-x)= -f(x) ist ergibt: f(-x)= (-5)(-x) = -(-5)x = -f(x).
Das funktioniert bei allen \( x^{2n+1}\); also den x mit ungeraden Exponenten.
Bei geraden Exponenten funktioniert das nicht. Beispiel \(f(x)=(-5)x^2\)
Wir prüfen was f(-x) macht: \(f(-x)= (-5)(-x)^2 = (-5)x^2 \ne -(-5)x^2=-f(x)\)
Anmerkung : hier gilt aber f(x) = f(-x); im Beispiel \(f(-x)=(-5)(-x)^2 = (-5)x^2 =f(x)\). Das nennt man Achsensymmetrie(zur y-Achse).