`(sqrt(k)-sqrt(k+1))^(k+1)/(sqrt(k-1)-sqrt(k))^k=((sqrt(k)-sqrt(k+1))/(sqrt(k-1)-sqrt(k)))^k*(sqrt(k)-sqrt(k+1))`
`=((sqrt(k)-sqrt(k+1))/(sqrt(k-1)-sqrt(k))*(sqrt(k-1)+sqrt(k))/(sqrt(k-1)+sqrt(k)))^k*(sqrt(k)-sqrt(k+1))*(sqrt(k)+sqrt(k+1))/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(((sqrt(k)-sqrt(k+1))*(sqrt(k-1)+sqrt(k)))/(k-1-k))^k*(k-(k+1))/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(-(sqrt(k*(k-1))-sqrt((k+1)*(k-1))+sqrt(k^2)-sqrt(k*(k+1))))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(-sqrt(k^2-k)+sqrt(k^2-1)-sqrt(k^2)+sqrt(k^2+k))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(-sqrt(k^2*(1-1/k))+sqrt(k^2*(1-1/k^2))-sqrt(k^2)+sqrt(k^2*(1+1/k)))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(-k*sqrt(1-1/k)+k*sqrt((1-1/k^2))-k+k*sqrt((1+1/k)))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(k*(-sqrt(1-1/k)+sqrt((1-1/k^2))-1+sqrt(1+1/k)))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(k*(sqrt((1-1/k^2))-1+sqrt(1+1/k)-sqrt(1-1/k)))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(k*((sqrt((1-1/k^2))-1)*(sqrt(1-1/k^2)+1)/(sqrt(1-1/k^2)+1)+(sqrt(1+1/k)-sqrt(1-1/k))*(sqrt(1+1/k)+sqrt(1-1/k))/(sqrt(1+1/k)+sqrt(1-1/k))))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(k*(((1-1/k^2)-1)/(sqrt(1-1/k^2)+1)+(1+1/k-(1-1/k))/(sqrt(1+1/k)+sqrt(1-1/k))))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=(k*((-1/k^2)/(sqrt(1-1/k^2)+1)+(2/k)/(sqrt(1+1/k)+sqrt(1-1/k))))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`
`=((-1/k)/(sqrt(1-1/k^2)+1)+(2)/(sqrt(1+1/k)+sqrt(1-1/k)))^k*-1/(sqrt(k)+sqrt(k+1))`

Der erste Teil ist offensichtlich beschränkt - der zweite Teil eine Nullfolge - es folgt Konvergenz gegen 0.

Keine Garantie auf Tippfehler etc. - wie gesagt Quotientenkriterim bei sowas nur im absolten Notfall benutzen!

Du machst daraus einfach:

`(k/(k+1))^(10)` Das geht offensichtlich gegen 1 für k gegen unendlich.

Außerdem gilt: `2^(k+1)/2^k=2`