Hi schera,

auf die Polarkoordinatenform kommst du so:

\( z = a + i \cdot b = r \cdot (cos(\phi) + i \cdot sin(\phi)) \)

dabei ist r der Betrag: \( r = \sqrt{a^2+b^2} \)

und \( \phi \) die Phase/Argument: \( tan(\phi) = \frac{b}{a} \)

Bsp.: \( z_1 = -1 + i \)

\( r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

\( \phi = \pi + arctan(\frac{1}{-1}) = \pi + arctan(-1) = \pi + \frac{- \pi}{4} = 135° \)

also: \( z_1 = \sqrt{2} \cdot  (cos(135°) + i \cdot sin(135°)) \)

Warum beim Argument + \( \pi \) ? Weil wir uns im II. Quadranten befinden.

Alternativ gibt es noch die eulersche Form mit: \( z = r \cdot e^{i \phi} \)

Ich hoffe das hilft weiter. :)

Mal sehen... Oben hast du ja schon alle relevanten Formeln stehen. Damit rechnen wir bei \(z_2 = 0 + (2\sqrt 2) i\) [Ich habe den Realteil \(0\) explizit hingeschrieben, um alle Unklarheiten auszuräumen.]

\[ r = \sqrt{ a^2 + b^2 } = \sqrt{ 0^2 + (2 \sqrt 2)^2 } = 2 \sqrt 2 \]

Das hätte man eigentlich sofort sagen können, ohne Rechnung, wenn der Realteil \(a\) oder der Imaginärteil \(b\) Null ist.

Als nächstes suchen wir \(\phi\) mit \(\tan(\phi) = \frac{1}{0}\). O weh! Das schaut nicht gut aus! Aber woher kommt denn der Tangens überhaupt? Von \(\frac{\sin \phi}{\cos \phi}\), und das kommt aus dem Gleichungssystem

\[ a = r \cdot \cos(\phi) \\ b = r \cdot \sin(\phi) \]

Ja, in \( a + i b = r \cdot ( \cos \phi + i \sin \phi ) \) verstecken sich zwei Gleichungen, eine für \(a\) und \(\cos\) und eine für \(b\) und \(\sin\).

Bei unserem \(z_2\) sind \(a = 0\) und \(b = r\), also

\[ 0 = r \cdot \cos(\phi) \\ r = r \cdot \sin(\phi) \]

Dazu passt

\[ \phi = \arcsin(1) = \textstyle \frac \pi 2 \]

Merke also:

Wenn der Realteil \(a = 0\) ist, dann ist die Phase \(\phi = \pm \frac \pi 2\). Das Vorzeichen von \(\phi\) ist dasselbe wie das vom Imaginärteil \(b\). (\(b\) kann ja auch \(-r\) sein.)

Hier noch ein Tipp, um komplexer Zahlen besser zu verstehen: Lernplayliste Thema Grundkurs komplexe Zahlen oder auf meinem youTube Kanal.

Guten Abend, 

vor exakt dieser Aufgabe stehe ich aktuell auch. Während sich mir das oben gelöste Problem noch erschließt stehe ich bei z2 vor einem Rätsel. Ich habe die richtige Lösung zwar in meinen Unterlagen stehen, jedoch keinen Plan wie diese hergeleitet wurde. 

Es wäre super, wenn mir wer weiterhelfen kann! Danke im Voraus!