Hallo,
die Diagonalform ist ein Spezialfall der Jordanschen Normalform. Desweiteren ist die Jordansche Normalform ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
Bei der Bestimmung der Normalformen ist die Grundidee ein Verfahren zu entwickeln bei der eine eindeutige Matrix (bis auf Vertauschung der Hauptvektoren) herauskommt die immer noch die selbe Abbildung beschreibt (nur bezogen auf eine andere Basis) und dabei einfache Gestalt hat.
Dadurch ist es möglich zu sehen, welche Abbildungen in verschiedenen Koordinatensystemen den selben "Prozess" beschreiben.
Also erstmal ja, es ist die "nächst mögliche" Form.
Nun ist die Idee dieser Normalformen den Raum so zu zerlegen, das wir invariante UVR erhalten. Beim diagonalisieren ist dies sehr einfach, da die Eigenvektoren auf ein vielfaches ihrere selbst abgebildet werden. Somit sind die Eigenräume sofort invariant.
Nun können wir aber keine Eigenräume aufstellen. Wir suchen also nach Räumen die wieder invariant unter der Abbildung sind.
Darein spielt der Fakt, das jeder trigonalisierbare Endomorphismus als Summe von einem diagonalisierbaren Endomorphismus und einem nilpotenten Endomorphismus zerlegt werden kann.
$$ \varphi = \varphi_{diag} + \varphi_{nil} $$
Das schreiben wir um in
$$ \varphi_{nil} = \varphi - \varphi_{diag} $$
Also gilt ab einem bestimmten \( k \)
$$ \varphi_{nil}^k(v) = 0 = (\varphi - \varphi_{diag})^k $$
Das bedeutet aber auch, dass
$$ span(ker(\varphi - \varphi_{diag})^k) = \mathbb{C}^n $$
Wenn wir die Abbildung auf die Haupträume einschränken, haben wir nur einen Eigenwert ( jeder Eigenraum hat nur einen Eigenwert \( \lambda \)) und erhalten aus \( \varphi_{diag} \Rightarrow \lambda \ id \).
Deshalb betrachten wir immer den Kern.
Noch als Korrektur. Du wählst den ersten Hauptvektor aus dem Kern der genau \( \mathbb{C}^n \) ist und nicht dem davor.
Hmm eine weitere Berechnung kenne ich persöhnlich jetzt nicht, aber das soll nichts heißen. Ich habe in der Vorlesung nur den Weg über die Hauptvektoren kennen gelernt und den anderen auch erst im späteren Verlauf mal im Internet gefunden.
Achja ich glaube das man den Algorithmus nicht so umschreiben kann, das auf der Nebendiagonalen Zweien auftauchen anstatt Einsen. Aber um das ganz sicher sagen zu können, muss ich mich nochmal mit der Herleitung genau auseinander setzen.
Ich werde mich deshalb noch einmal melden.
Ich hoffe ich konnte alle Fragen beantworten, ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Bei Rückfragen melde dich sehr gerne wieder.
Grüße Christian ─ christian_strack 09.10.2019 um 10:28
vielen Dank erstmal für die wie immer ausführliche Antwort :) Ich finde es klasse, das man hier immer so ausführliche und vor allem professionelle Antworten bekommt. Ich werde das in Ruhe durchlesen und mich dann nochmal (wie immer vermutlich verspätet) melden und nachfragen :D ─ wirkungsquantum 08.10.2019 um 19:46