1. Fall: \( 3x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{3} \)

In diesem Fall betrachtest du also alle x-Werte zwischen \( - \infty \) und \( -\frac{1}{3} \). Nun gilt es die Beträge aufzulösen, ohne die Betragseigenschaft zu verlieren. Du weißt, dass für die betrachteten x-Werte in diesem Fall sowohl die linke Seite, als auch die rechte Seite der Gleichung eine negative Zahl ist. Um die Betragseigenschaft zu erhalten, multiplizieren wir beide Seiten mit \( (-1) \). Folglich gilt:

\( (-1) \cdot (3x+1) = (-1) \cdot (2x) \Leftrightarrow -3x - 1 = -2x \Leftrightarrow x = - 1 \)

Die gefundene Lösung für x liegt auch im Intervall der in diesem Fall betrachteten x-Werte, somit ist es eine Lösung der Gleichung und wir können sie zur Lösungsmenge hinzufügen.

2. Fall \( 3x + 1 \geq 0 \) & \( 2x < 0 \) \( \Leftrightarrow -\frac{1}{3} \leq x < 0 \)

Das heißt wir betrachten nur x-Werte zwischen \( -\frac{1}{3} \) und \( 0 \). Wie bereits in Fall 1 beschrieben, wollen wir die Betragsstriche auflösen, aber dabei die Betragseigenschaft erhalten. Deshalb gilt:

\( 3x + 1 = (-1) \cdot 2x \Leftrightarrow 3x + 1 = -2x \Leftrightarrow x = -\frac{1}{5} \)

Auch diese Lösung liegt im Intervall der betrachteten x-Werte des 2. Falles und kann deshalb zur Lösungsmenge hinzugefügt werden.

3. Fall: \( 3x + 1 \geq 0 \) & \( 2x \geq  0 \) \( \Leftrightarrow x \geq 0 \)

In diesem Fall sind sowieso beide Seiten positiv und du kannst einfach die Betragsstriche weglassen. Folglich gilt:

\( 3x + 1 = 2x \Leftrightarrow x = -1 \)

Die \( -1 \) liegt jedoch nicht im Intervall der x-Werte dieser Fallunterscheidung, da wir hier nur positive x-Werte betrachten und demzufolge hat die Ungleichung für positive x-Werte keine Lösung. (Kann man sich ja auch anschaulich gut vorstellen, wenn man sich die beiden linearen Funktionen anschaut).

Aus allen Fällen zusammen erhältst du dann folgende Lösungsmenge: \( L = \{-1, -\frac{1}{5} \} \).