Lineare Transformation, Matrix, wie bestimme ich Rang und Dim. des Kerns?

Aufrufe: 907     Aktiv: 09.08.2020 um 22:59
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Ich hänge jetzt schon eine Weile an folgender Aufgabe, irgendwie verstehe ich nicht so recht wie man vorgehen muss. Vielleicht ist es auch zu einfach.. 

Mein Ansatz wäre, die Matrix hat vollen Rang, also ist der Rang von T = 2 und da dim(V)= rang(T) + dim(ker(T)) gilt, die Dimension des VRs der Polynome vom Grad <= 3, ist 4 und deshalb ist auch die Dimension des Kerns von T = 2?


Insbesondere verstehe ich nicht, was f(1), f(2) und f(0) konkret bedeuten, sind das die Polynome vom jeweiligen Grad über R? Also f(1) wäre die Polynome vom Grad 1 und f(2) die Polynome vom Grad 2 usw.? 
Wäre es nicht relativ egal welche Zahl in Klammern steht, solange es oben nicht dieselbe ist und geht es dann vor allem darum zu erkennen, dass f(0) eine beliebigen Zahl sein kann und deshalb f(0) nicht zwangsweise 0 ist und der Rang 2 erhalten bleibt (dann müsste man noch einschränken im Falle f(0) ungleich 0, oder?) 

oder geht es darum, dass die 2x2 Matrix vollen Rang hat aus denselbigen Überlegungen wie im Absatz davor und deshalb die Dimension des Kerns 0 sein muss, da es sich nur um eine 2x2 Matrix handelt?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte das Ganze zu verstehen! 😊

 

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Mit raten kommt man nicht weit. Da steht ja, was der Def-Bereich von T ist. Wenn also dann irgendwo T(f) steht, ist ja klar, was f sein muss.

Es ist immer sinnvoll sich zuerst zu überlegen von welchen Objekten man redet. Was sind hier Polynome, was sind Zahlen, was Vektoren usw.. Machst Du ja auch, gut. Aber bitte systematisch.

Deine Dimensionsüberlegung wäre geht auch von geratenen Fakten aus. Mir persönlich wäre das zu unsicher, weil es oft nur Frust erzeugt. Also, von gesicherten Fakten ausgehen.

.Die lin. Abb. T (Achtung: T ist NICHT T(f), versch. Objekte!!!). bildet einen Raum der dim. 4 (Polynome) in den Raum der 2x2-Matrizen ab, der auch dim 4 hat. Damit kann die lin. Abb. T durch eine wievielxwieviel Matrix beschrieben werden?

Von da an weiter, aber nicht im Nebel stochern, sondern die Ratschläge oben (Objekte!!!) beherzigen.

 

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Das ist genau mein Problem, ich rate und bin frustriert wenn es keinen Sinn ergibt. Ok, ich versuche es mal, Definitionsbereich von T ist der VR der Polynome vom Grad <= 3 und wenn dann T(f) da steht, ist f also der Grad der Polynome?
T bildet einen 4 dimensionalen Raum in einen 4 dimensionalen Raum ab, also kann T dann durch eine 4x4 Matrix beschrieben werden? Und dann hat man Rang T = 2 und dim des Kerns von T ebenfalls 2?   ─   philipplahm 09.08.2020 um 16:22
Bei T(f) ist f ein Vektor und T(f) eine Matrix?
Die Basis für den Def. - Bereich: B={1, x, x^2, x^3} und die Basis für den Bildbereich ist die Basis für den Raum aller 2x2 Matrizen, also die Elementarmatrizen 1-4, also B={E1, E2, E3, E4}?   ─   philipplahm 09.08.2020 um 16:58
Ich dachte f sei ein Vektor, da wir vom Vektorraum der Polynome vom Grad... ausgehen, aber f ist dann ein Polynom, oder?
Ich verstehe es nicht, wie ich auf die Gestalt der 4x4 Matrix komme, beziehe ich da jetzt T(f) mit ein?   ─   philipplahm 09.08.2020 um 17:24
Okay, also einfach bei 1 verwende ich 1xE1, 0xE2, 0xE3 und 1xE4, bei x verwende ich 1xE1, 0xE2, 0xE3 und 0xE4, lauten die Spalten von A dann: 1001, 1000, 1000, 0000?
Sodass ich eine 4x4 Matrix mit den Zeilen: 1110, 0000, 0000, 1000 erhalte und diese dann auf r.Z.F. zeigt mir Rang von T = 2 und Dim. Kern ebenfalls 2?   ─   philipplahm 09.08.2020 um 19:20

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