Lineares Ausgleichsproblem

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Servus, ich habe eine Frage zur Definition,

Also Gegeben ist eine n x r Matrix A und ein Vektor v aus R^n. Ein Vektor x aus R^r ist genau dann eine Lösung des linearen Ausgleichsproblems ||v - Ax|| = min, wenn x eine Lösung der Normalgleichung (A^T)Ax = (A^T)v ist.

Meine Frage ist jetzt, was beim Ausdruck ||v - Ax|| genau das Ax sein soll? Offensichtlich ein Vektor aus dem R^n, aber mir ist nicht klar, warum gerade Ax? Ich dachte, man will den minimalen Abstand von einem beliebigen Vektor v zu einem Untervektorraum finden. Die Menge {Ax| x aus R^r}, also das Bild unter der Matrix A ist natürlich ein Untervektorraum, aber was wenn ich den minimalen Abstand zu einem anderen Untervektorraum haben möchte?

mfg

 

 

gefragt 6 Tage, 11 Stunden her
h1tm4n
Punkte: 42

 
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1 Antwort
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Das lineare Ausgleichsproblem ist v-Ax zu minimieren. Wenn du den Abstand zu einem anderen UR suchst, kommt natürlich auch kein A mehr vor. Wenn man aber eine Basis dieses UR hat, kann man natürlich auch ein dazu passendes A definieren, damit es aussieht wie ein normales lineares Ausgleichsproblem.

geantwortet 6 Tage, 10 Stunden her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 9.95K
 

und was wäre dann das passende A? Was soll A genau machen?   ─   h1tm4n 6 Tage, 10 Stunden her

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So, dass das Bild von A der UR wird. Was muss dann in den Spalten stehen? Was soll denn A "machen"? Kann gerade nicht folgen.   ─   mikn 6 Tage, 10 Stunden her

Ja, danke für deine Antwort. Hat mir sehr geholfen. Ich glaube ich habs jetzt kapiert:
Wenn man ein Gleichungssystem Ax=v hat, und wenn A gleich oder mehr Zeilen als Spalten hat (Sonst braucht man es ja auch nicht), gibt es im Allgemeinen ja keine Lösung, also v liegt nicht im Bild der Matrix. Jetzt versucht man halt Ax-v zu minimieren, also den Vektor suchen (im Bild der Matrix), der am nächsten an v rankommt. Und das Bild von A ist der Untervektorraum, es geht gar nicht darum, dass man einen anderen Untervektorraum hat.
  ─   h1tm4n 6 Tage, 10 Stunden her

Ja! Super Beschreibung, man merkt du hast es verstanden, freut mich.   ─   mikn 6 Tage, 8 Stunden her
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