Wir unterscheiden die beiden Fälle \(a=b\) und \(a>b\).

1. Fall: \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + a^n}\)

\(\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2a^n}\)

\(\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{2} \sqrt[n]{a^n}\right)\)

\(\displaystyle  =\underbrace{\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2}\right)}_{= 1}\underbrace{\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n}\right)}_{=a}=a=\max\{a,b\}\)

2:Fall \(a>b>0\)

\(\Rightarrow\quad a^n > b^n > 0\)

\(\Rightarrow\quad a^n + a^n > a^n + b^n > a^n\)

\(\Rightarrow\quad \sqrt[n]{a^n + a^n} >  \sqrt[n]{a^n + b^n} >  \sqrt[n]{a^n}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + a^n} \geq  \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n} \geq  \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\quad a \geq  \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n} \geq  a\)

\(\displaystyle\Rightarrow\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n + b^n} =  a = \max\{a,b\}\)

Für \(b>a\) vertauschen wir einfach \(b\) und \(a\).

Eine Idee, ohne zu wissen, ob sie zielführend ist: Angenommen `a>b`. Dann würde ich im Radikand `a^n` ausklammern und aus der Wurzel ziehen. Dies führt zu \(\sqrt[n]{a^n + b^n} = a \sqrt[n]{1+\left(\frac ba\right)^n}\). Es bleibt zu zeigen, dass \(\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+x^n} = 1\) für \(0 \le x \le 1\).

Das zu zeigen könnte ich übernehmen, obwohl ich in der 10.klase noch  nie mit Limes gearbeitet habe. 

Ich würde mit dem Ansatz von Digamma arbeiten. 

x^n wird doch für ein x zwischen 0 und 1 für n gegen unendlich ziemlich klein bzw. null. 

Also ist der Radikant dann nur noch 1+0 =1. 

Ich denke dass auch wenn n gegen unendlich strebt die n-tr Wurzel aus 1 = 1 ist. Und somit ist es doch gezeigt. 

Wenn ich falsch liege bitte korrigieren, habe wie gesagt wenig Erfahrung 

Dann gehen aber beide Lösungswege oder? 

Der von digamma (und mir) und der von bonuama. Oder liege ich da falsch?