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Stelle die Funktion um:
\( \sqrt{a^2-y^2} =\sqrt{1-\frac{y^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^2}\)
Dann substituierst du \(\frac{y}{a}=z\)!
Vergiss nicht die Integrationsvariable und die Grenzen mit zu substituieren.
Ich hoffe das hilft weiter.
LG Martin
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maqu
Punkte: 8.84K
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Danke für die Antwort, ich versteh jedoch nicht ganz wie ich auf die Substitution komme bzw wie mir diese weiterhilft.
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anonym2ea41
17.12.2020 um 16:50
Das würd jedoch dann bedeuten, das ich y/a als z substituiere und nicht den arctan(y/a) oder?
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anonym2ea41
17.12.2020 um 16:54
Ja war ein Denkfehler ... hast recht \(\frac{y}{a} =z\) substituieren reicht. ^^ Hatte mit der Ableitung gerade einen Denkfehler ... wenn der Wurzelterm im Nenner stehen würde, dann kannst du das mit Hilfe der arctan machen. ... \(z=\frac{y}{a}\) sollte zum gewünschten Ergebnis führen!
─
maqu
17.12.2020 um 17:00
Jetzt fehlt nurnoch die Stammfunktion von sqrt(1-z^2)... Ich hab da jetzt keine im Kopf
─
anonym2ea41
17.12.2020 um 17:03
Du erhältst dann:
\(a\cdot \int_0^a \sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^2} dy =a\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} \cdot a dz =a^2\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:04
\(a\cdot \int_0^a \sqrt{1-\left(\frac{y}{a}\right)^2} dy =a\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} \cdot a dz =a^2\cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:04
ich bekomm doch a dz und nicht 1/a dz oder?
Wie mach ich weiter mit dem integral (sqrt(1-z^2)) ? ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:10
Wie mach ich weiter mit dem integral (sqrt(1-z^2)) ? ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:10
Ja hast recht ... man muss ja noch mal a rechnen um es nach dy umzustellen
─ maqu 17.12.2020 um 17:14
─ maqu 17.12.2020 um 17:14
Die Funktion \(\sqrt{1-z^2}\) ist ja nun die obere Halbkugel des Einheitskreises. Dementsprechend ergibt das Integral von 0 bis 1 eine Fläche von \(\frac{\pi}{4}\). Ergebnis ist also \(a^2 \cdot \dfrac{\pi}{4}\) ... aber wie man das jetzt genau berechnet ... glaube man muss nochmal substituieren ... wahrscheinlich die passende trigonometrische Funktion ... ich schau nochmal
─ maqu 17.12.2020 um 17:18
─ maqu 17.12.2020 um 17:18
Ach ich habs! .... \(z=\sin(\theta)\). Damit erhälst du nämlich:
\(\int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:24
\(\int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2(\theta)} \cdot \cos(\theta) d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta\) ─ maqu 17.12.2020 um 17:24
Ist es nicht wieder 1/cos(Theta) dTheta ?
─
anonym2ea41
17.12.2020 um 17:28
Nun glaube ich Additionstheorem ^^ \(\cos^2(\theta)=\frac{1}{2} \left(1+\cos(2\theta)\right)\)
Damit ergibt sich:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta =\dfrac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta\)
Wir kommen der Sache langsam näher :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:28
Damit ergibt sich:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) d\theta =\dfrac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta\)
Wir kommen der Sache langsam näher :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:28
Ne ich glaube diesmal bin ich wirklich richtig ^^
\(\frac{dz}{d\theta} =\cos(\theta) \) genau dann wenn \(dz=\cos(\theta)\cdot d\theta\)
oder? ─ maqu 17.12.2020 um 17:30
\(\frac{dz}{d\theta} =\cos(\theta) \) genau dann wenn \(dz=\cos(\theta)\cdot d\theta\)
oder? ─ maqu 17.12.2020 um 17:30
Das müsste es jetzt sein:
\(\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =\frac{1}{2} \cdot \left[\theta +\frac{1}{2} \sin (2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sin(\pi)\right)-\left(0+\frac{1}{2} \cdot \sin(0)\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +0\right)-\left(0+0\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4} \)
It's done :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:38
\(\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =\frac{1}{2} \cdot \left[\theta +\frac{1}{2} \sin (2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sin(\pi)\right)-\left(0+\frac{1}{2} \cdot \sin(0)\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \left[ \left(\frac{\pi}{2} +0\right)-\left(0+0\right)\right] =\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4} \)
It's done :D ─ maqu 17.12.2020 um 17:38
Also insgesamt:
\(\int_0^a \sqrt{a^2-y^2} dy =a^2 \cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =a^2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)d\theta =a^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =a^2\cdot \frac{\pi}{4}\)
Mit zweimaliger Substitution und Additionstheorem. ─ maqu 17.12.2020 um 17:46
\(\int_0^a \sqrt{a^2-y^2} dy =a^2 \cdot \int_0^1 \sqrt{1-z^2} dz =a^2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)d\theta =a^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1+\cos(2\theta) d\theta =a^2\cdot \frac{\pi}{4}\)
Mit zweimaliger Substitution und Additionstheorem. ─ maqu 17.12.2020 um 17:46
Mega danke dir!!! :)
eine Sache is mir aber noch nicht ganz klar. Beim 1x Subsitutieren haben wir (u=y/a) dz/ dy = 1 / a auf dy umgeformt. (Logisch)
Beim 2x (u = sin(Theta)) haben wir dann du/dTheta (genau anders rum als beim 1x, da hatten wir neue "Variable / Alte" und jetzt "Neue/Alte") = cos(Theta)
Das war auch mein Fehler weshalb ich 1/cos(theta) dachte... Würd gern noch verstehen warum das so ist. (Falls das verständlich ausgedrückt ist) :DD ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:47
eine Sache is mir aber noch nicht ganz klar. Beim 1x Subsitutieren haben wir (u=y/a) dz/ dy = 1 / a auf dy umgeformt. (Logisch)
Beim 2x (u = sin(Theta)) haben wir dann du/dTheta (genau anders rum als beim 1x, da hatten wir neue "Variable / Alte" und jetzt "Neue/Alte") = cos(Theta)
Das war auch mein Fehler weshalb ich 1/cos(theta) dachte... Würd gern noch verstehen warum das so ist. (Falls das verständlich ausgedrückt ist) :DD ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:47
ja sag ich dir: eigentlich müsstest du \(\theta =\sin^{-1} (z)\) substituieren und dann über die Ableitung der Umkehrfunktion argumentieren ..... \(z=\sin(\theta)\) führt aber zum gleichen Ergebnis ;) ... und wir müssen uns das leben ja nicht unnötig schwer machen :D
─
maqu
17.12.2020 um 17:50
Logisch macht Sinn :DD
Achja ein Kollege hat es gerade alternativ geschafft statt dem Additionstheorem das Integral von cos^2(Theta) zu benutzten weil uns das bekannt ist (von ein paar Bsp davor).
Also gibts da mehrere Wege aber Danke Danke Danke!!! ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:53
Achja ein Kollege hat es gerade alternativ geschafft statt dem Additionstheorem das Integral von cos^2(Theta) zu benutzten weil uns das bekannt ist (von ein paar Bsp davor).
Also gibts da mehrere Wege aber Danke Danke Danke!!! ─ anonym2ea41 17.12.2020 um 17:53
Kein ding ... ja bei trigonometrischen Funktionen führen viele Wege nach Rom .... ich merk mir immer bei solchen wurzeltermen im Integral kann man zu 80 Prozent die geeignete trigonometrische Funktion substituieren ... aber man muss echt aufpassen, deswegen war ich am Anfang auch auf dem Holzweg mit dem arctan :D viel erfolg noch ;)
─
maqu
17.12.2020 um 17:57
Geometrische Interpretation des Integrals ist übrigens die Fläche des Viertelkreises mit Radius a ;)
─
maqu
17.12.2020 um 18:00
Ach stimmt das is ja auch noch gefragt :DD Danke dir!!!
─
anonym2ea41
17.12.2020 um 18:00