Hallo,
ich habe damit leider noch keine Erfahrung mit Rektifizierbarkeit aber ich verstehe es folgendermaßen:
Ich habe die Funktion mal mit Geogebra geplottet. Ich habe nochmal etwas in die Mitte gezoomt, da es nicht ganz vernünftig dargestellt wird.
Nun habe ich auf Wikipedia den Satz gefunden, dass jeder stückweise stetig diffbare Weg rektifizierbar ist.
Stückweise stetig diffbar bedeutet das es eine Zerlegung in offene Teilintervalle gibt und das die Funktion auf diesen Intervallen stetig diffbar ist.
Zwischen einem Maximum und Minimum ist die Funktion glatt. Deshalb zerlegt denke ich der Beantworter der Frage den Weg in offene Intervalle die immer zwischen Maximum und Minimum liegen. Die zugehörigen \( t \) Werte erhalten wir somit durch ableiten der Funktion und Nullstellen der Ableitung berechnen.
Was meinst du dazu?
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Aber beschreibt deine Reihe wirklich deinen Weg? \( \Vert \alpha(t_k) - \alpha(t_{k-1}) \Vert \) beschreibt doch den direkten Abstand zwischen \( \alpha(t_k) \) und \( \alpha(t_{k-1}) \). Also den Horizontalen Abstand.
Ich denke man könnte aber sagen, da der Weg zwischen deinen Stützpunkten immer etwas größer ist als der direkte Abstand (den der direkte Abstand ist der kürzeste) haben wir durch deine Reihe eine Minorante gefunden die immer kleiner ist und divergiert. Das Minorantenkriterium liefert uns somit, das die Reihe der Teilwegstücke divergieren muss. ─ christian_strack 26.11.2019 um 18:04
Grüße Christian ─ christian_strack 27.11.2019 um 14:25
Grüße Christian
─ christian_strack 06.12.2019 um 00:30
Der Weg über die Ableitung war mir doch zu kompliziert. ;) Trotzdem vielen Dank für deine Recherche! ─ tisterfrimster 26.11.2019 um 09:09