Nicht rektifizierbarer Weg

Aufrufe: 1475     Aktiv: 06.12.2019 um 00:30
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Hallo,

ich soll zeigen, der Weg \(\alpha\) nicht rektifizierbar ist. Ich habe leider keinen Ansatz und werde aus dem Skript auch nicht schlau. Der Weg ist wie folgt definiert:

\(\alpha :\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}^{ 2 }, \alpha(t)=\begin{cases}\left(\begin{matrix} t \\ t\sin{ (\frac{ 1 }{ t }}) \end{matrix}\right) & t>0, \\ \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) & t=0\end{cases}\)

Die gleiche Aufgabe wurde wohl vor einigen Jahren schon einmal gestellt :), deshalb habe ich diese Seite gefunden:

Vergangener Ratschlag der Mathe-Lounge.

Den dortigen Ansatz verstehe ich leider ebenso wenig. Daher würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand diesen (oder gerne einen neuen) kurz erklären könnte.

Vielen herzlichen Dank!

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Hallo,

ich habe damit leider noch keine Erfahrung mit Rektifizierbarkeit aber ich verstehe es folgendermaßen:

Ich habe die Funktion mal mit Geogebra geplottet. Ich habe nochmal etwas in die Mitte gezoomt, da es nicht ganz vernünftig dargestellt wird.

Nun habe ich auf Wikipedia den Satz gefunden, dass jeder stückweise stetig diffbare Weg rektifizierbar ist.

Stückweise stetig diffbar bedeutet das es eine Zerlegung in offene Teilintervalle gibt und das die Funktion auf diesen Intervallen stetig diffbar ist. 

Zwischen einem Maximum und Minimum ist die Funktion glatt. Deshalb zerlegt denke ich der Beantworter der Frage den Weg in offene Intervalle die immer zwischen Maximum und Minimum liegen. Die zugehörigen \( t \) Werte erhalten wir somit durch ableiten der Funktion und Nullstellen der Ableitung berechnen. 

Was meinst du dazu?

Grüße Christian

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Ich habe es nun ganz anders gelöst. Ich habe gezeigt, dass die Summe \(\sum\limits_{k=1}^{m} \| \alpha(t_{k})- \alpha(t_{k-1})\| _{2}\), die die Länge des Weges \(L(\alpha, Z)\) beschreibt, für \(m\rightarrow\infty\) divergiert (harmonische Reihe). Dazu habe ich die \(t_{k} = \frac{1}{\frac{2}{(2k+1)\pi}}\) als Zerlegung gewählt und in die Summe eingesetzt. Mit ein paar Abschätzungen erhalte ich dann die harmonische Reihe. Weil die Reihe divergiert, ist die Menge der Weglängen über alle möglichen Zerlegungen \(Z\) nicht beschränkt und daher ist der Weg \(\alpha\) nicht rektifizierbar.

Der Weg über die Ableitung war mir doch zu kompliziert. ;) Trotzdem vielen Dank für deine Recherche!   ─   tisterfrimster 26.11.2019 um 09:09
Gerne ;)
Aber beschreibt deine Reihe wirklich deinen Weg? \( \Vert \alpha(t_k) - \alpha(t_{k-1}) \Vert \) beschreibt doch den direkten Abstand zwischen \( \alpha(t_k) \) und \( \alpha(t_{k-1}) \). Also den Horizontalen Abstand.
Ich denke man könnte aber sagen, da der Weg zwischen deinen Stützpunkten immer etwas größer ist als der direkte Abstand (den der direkte Abstand ist der kürzeste) haben wir durch deine Reihe eine Minorante gefunden die immer kleiner ist und divergiert. Das Minorantenkriterium liefert uns somit, das die Reihe der Teilwegstücke divergieren muss.   ─   christian_strack 26.11.2019 um 18:04
Hm. Ich habe die Aufgabe gestern zur Korrektur eingereicht. Nächste Woche weiß ich dazu mehr ;).   ─   tisterfrimster 27.11.2019 um 07:58
Wenn es nicht zu viel Mühe ist, würde ich mich freuen wenn du einmal hier rein schreibst wie die Lösung aussieht. :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 27.11.2019 um 14:25
Ich werde mal sehen. Noch habe ich sie nicht.   ─   tisterfrimster 30.11.2019 um 15:49
Danke :) Nur wenn es keine Mühe macht. Lerne immer gerne was dazu :p   ─   christian_strack 02.12.2019 um 12:26
Nun ist das Ergebnis da und mein Weg aus dem Kommentar oben hat tatsächlich unglaubliche 10 von 10 Punkten erhalten. Also ist das offenbar korrekt ;)   ─   tisterfrimster 05.12.2019 um 18:04
Freut mich sehr zu hören. Danke für die Information :) Werde ich mir nochmal genau angucken.

Grüße Christian
   ─   christian_strack 06.12.2019 um 00:30

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