Dein erstes Argument stimmt nicht, denn sowohl \(\{1,2\}\) als auch \(\{3,4,\dots\}\) gehören zu \(C\). Die zweite Menge hat ja ein endliches Komplement.
Alle einelementigen Mengen gehören zu \(C\). Da alle Teilmengen von \(\mathbb{N}\) abzählbar sind, kann man jede Teilmenge von \(\mathbb{N}\) als abzählbare Vereinigung von einelementigen Mengen schreiben. Nach der Vereinigungsstabilität müsste also jede Teilmenge von \(\mathbb{N}\) in \(C\) liegen, wenn \(C\) eine \(\sigma\)-Algebra wäre. Dass dem nicht so ist, hast Du ja schon erwähnt; also ist \(C\) keine \(\sigma\)-Algebra.
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