Also erstmal \(\sqrt[x]x=x^{\frac1x}\) per Definition. Da \(\ln x\) die Umkehrfunktion von \(e^x\) ist, gilt \(e^{\ln x}=x\), folglich ist \(x^{\frac1x}=(e^{\ln x})^{\frac1x}\).
Der nächste Schritt ist einfach das Potenzgesetz \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) mit \(a=e,m=\ln x, n=\frac1x\).
Jetzt geht es ans Ableiten, und zwar mit der Kettenregel \([u(v(x))]'=u'(v(x))\cdot v'(x)\). Hier ist \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=\frac{\ln x}x\). Die Ableitung der \(e\)-Funktion ist sie selbst, sodass \(u'(v(x))=e^{\frac{\ln x}x}\), und \(v'(x)\) wird erst mal genau so hingeschrieben.
Im letzten Schritt wird \(e^{\frac{\ln x}x}\) wieder zu \(x^{\frac1x}\) umgeschrieben und mithilfe der Quotientenregel die Ableitung von \(\frac{\ln x}x\) berechnet:
\(\left(\frac{\ln x}x\right)'=\frac{(\ln x)'\cdot x-\ln x\cdot x'}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}\).
Ich hoffe, das klärt alle Fragen. Ansonsten frag gern nochmal nach :)
Student, Punkte: 5.33K
Ebenso wenig kann man hier die Ableitung von Potenzfunktionen \([a^x]'=\ln a\cdot a^x\) verwenden, weil dazu die Basis eine Zahl und keine Variable sein muss.
Da hier sowohl Basis als auch Exponent eine Variable ist, gibt es keine Regel, die uns direkt erlaubt, das abzuleiten. Wir müssen den Term erst so umschreiben, dass das \(x\) nur im Exponenten steht. ─ sterecht 27.03.2020 um 12:07