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Also der erste Teil ist richtig. Ich würde nur noch hinschreiben, dass \(\sup(A+B)\) existiert, weil es nach oben beschränkt ist.
Beim zweiten Teil darfst du deinen dritten Schritt meiner Auffassung nach nicht machen.
Du musst zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke von \((A+B)\) existiert als \(\sup(A)+\sup(B)\).
Sei \(C<\sup(A)+\sup(B)\) beliebig.
Zu zeigen: \(C\) ist keine obere Schranke von \(A+B\). Setze \(\varepsilon :=\sup(A)+\sup(B) -C\). Dann ist \(\varepsilon >0\) und damit auch \(\dfrac{\varepsilon}{2} >0\) erfüllt. Es sind also \(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2}\) bzw. \(\sup(B)-\frac{\varepsilon}{2}\) keine oberen Schranken von \(A\) bzw. \(B\). Da \(\sup(A)\) und \(\sup(B)\) laut Voraussetzung existieren, gibt es Elemente \(a\in A\) und \(b\in B\), so dass:
\(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2} <a\) und \(\sup(B)-\dfrac{\varepsilon}{2} <b\) gelten.
Somit folgt schlussendlich:
\(C=\sup(A)+\sup(B)-\varepsilon =\left(\sup(A)-\dfrac{\varepsilon}{2}\right) +\left(\sup(B)-\dfrac{\varepsilon}{2}\right) <a+b \in A+B\)
Somit ist also \(C\) keine obere Schranke von \(A+B\) und es folgt die Behauptung.
Hoffe das hilft weiter.
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\(x
Es könnte auch der Fall sein, dass \(a\leq \alpha\) und \(b\leq \beta -\dfrac{2}{n}\) gelten. Also die Rückrichtung kannst du nicht notwendiger Weise annehmen. Theoretisch müsstest du für alle möglichen Fälle die du aus dem zweiten Schritt schlussfolgern kannst zeigen, dass es zu einem Widerspruch führt.
Es kann auch sein, dass ich mich irre und man es so beweisen kann. Analysis ist bei mir lange auch her. :D Aber es geht direkt ja auch so schön und doch recht schnell zu zeigen, so dass ich es dem Widerspruchsbeweis vorziehen würde.
Du wolltest ja nur nochmal eine Lösung dafür haben und die konnte ich dir hoffentlich gut darlegen. ;D
Vllt hat jemand in der Community hier eine andere Auffassung und belehrt mich eines besseren ^^