Gleichung lösen

Aufrufe: 883     Aktiv: 20.10.2020 um 16:37
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Hallo,

folgende Gleichung ist zu lösen:

\(\frac {x^\frac{3}{4} - x^\frac {1}{4}} {x^\frac{5}{4} - x^\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}\)

Ich finde absolut keinen Ansatz dazu... Bitte um Hilfe

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Moin emanueljeschke.

Wie dir sicher auffällt ist der Nenner der Exponenten überall gleich, das wollen wir nutzen.

Wir können hier \(u=x^{\frac{1}{4}}\) substituieren und erhalten:

\(\dfrac{u^3-u}{u^5-u}=\dfrac{1}{4}\)

Für den Anfang sollte das als Ansatz genügen. Falls du weiter Probleme hast melde dich gerne.

 

Grüße

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Student, Punkte: 9.96K

 
Wenn ich den Nenner durch multiplizieren auf die andere Seite bringe und dann den übrig gebliebenen Zähler auch rüber bringe habe ich irgendwann folgendes:
0=1/4*u^5 - 1/4*u^3 + 3/4*u
Kann ich hier jetzt wieder substituieren oder was kann ich machen?   ─   emanueljeschke 19.10.2020 um 17:19
Bis auf den Vorfaktor vor \(u^3\) habe ich das genauso. Jetzt kannst du \(u\) ausklammern und mit dem Satz vom Nullprodukt argumentieren... du hast dann einen Term mit \(u^4\) und \( u^2\) übrig, was bietet sich damit an?   ─   1+2=3 19.10.2020 um 17:22
wenn ich dann folgendes stehen habe:
0 = u*(1/4*u^4 - u^2 + 3/4

Ich würde hier wieder substituieren mit z.B. u^2 = n. Aber was geschieht mit dem u vor der Klammer. Kann ich einfach 0/u teilen, was ja 0 ergibt?   ─   emanueljeschke 19.10.2020 um 17:36
\(u^2=2\) zu substituieren ist eine sehr gute Idee! Durch \(u\) teilen darfst du hier nicht, weil ja \(u=0\) sein könnte. Du musst hier argumentieren, dass ein Produkt dann \(=0\) ist, wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Also ist \(u=0\) oder der Rest ist \(=0\). Stichwort ist "Satz vom Nullprodukt".   ─   1+2=3 19.10.2020 um 17:41
Tut mir leid aber jetzt versteh ich gar nichts mehr. Ich sitze jetzt ca 3h an dieser Aufgabe und es kommt nur Mist bei raus...
   ─   emanueljeschke 19.10.2020 um 18:23
Also wenn \(0=u\cdot (\frac{1}{4}u^4-u^2+\frac{3}{4})\), dann:
\(u=0\) oder \(0=\frac{1}{4}u^4-u^2+\frac{3}{4}\). Begründung ist hier der Satz vom Nullprodukt (ein Produkt wird nur dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist). Den zweiten Teil löst du jetzt mit Substitution.   ─   1+2=3 19.10.2020 um 19:13
Wenn ich bestimme, dass \(u^2 = n\) ist, dann lautet meine Gleichung wie folgt:
\(0 = \frac{1}{4}n^2 - n + \frac{3}{4}\)
Teile ich anschließend durch \(\frac{1}{4}\) erhalte ich \(0 = n^2 - 4n + 3\)
Heißt ich kann hier die pq-Formel einsetzen, was mich zu n1 = 1 und n2 = 3 führt.
Jetzt hebe ich die Substitution von n wieder auf:
\(u = \sqrt{n}\)
Jetzt hebe ich die Substitution von u auf:
\(x = u^4\)
Wenn ich das alles mache komme ich nicht auf das Ergebnis 9, sondern erhalte nur Mist   ─   emanueljeschke 19.10.2020 um 19:31
Du musst \(u=\pm \sqrt n\) betrachten. Das kannst du dann in \(x=u^4\) einsetzen und erhälst: \(x=(\pm\sqrt n)^4=n^2\)
Mit \(n_1=1\) und \(n_2=3\) passts doch! Natürlich musst du auch noch schauen, was mit \(u=0\) passiert.   ─   1+2=3 19.10.2020 um 21:08
Nachdem ich mal geschlafen habe, ist mir das heute morgen auch klar geworden. Aber trotzdem vielen Dank für deine Hilfe   ─   emanueljeschke 20.10.2020 um 16:36
Ein wenig Schlaf wirkt manchmal tausend Wunder :D
Freut mich, dass ich helfen konnte!   ─   1+2=3 20.10.2020 um 16:37

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