Also, die Aufgabe sowie deine Rechnung sind für mich nicht gut lesbar. In der Annahme, dass die Kurvenschar so heißt : f a (x)=( a-1)/3 * x ^3 - a x 

sind die Nullstellen bei 0, +- Wurzel 3 a / (a-1) , f' = (a-1) x ^2 - a und damit die Extremstellen für f --> +- Wurzel a / (a-1) 

entspricht das Deinen Ergebnissen ? 
Ich habe das bei Geogebra für 3 verschiedene a durchgeplottet, es stimmt dort auf jeden Fall . Kurvendiskussion : Punktsymmetrisch zum Ursprung , man könnte nun noch die 2. Ableitung bilden und den Wendepunkt nachweisen .