Question

Konditionszahl in LGS und Nicht-LGS

Aufrufe: 612 Aktiv: 24.01.2021 um 14:21

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Hallo alle zusammen,

mir geht es um das Verständnis der Konditionszahl.

Definition der relativen Konditionszahl die ich bisher kenne:

Mein Professor hat aber in seinem Skript geschrieben, dass A ein Problem der Art A:x → y ist, was ja eine lineare Abbildung ist. Deshalb die Fragen:

1) Was ist konkret der Unterschied zwischen einer Konditionszahl in einem nichtlinearen Gleichungssystem und in einem LGS?

2) Und die Konditionszahl in einem LGS (Matrizen) ist anders definiert als die Konditionszahl einer linearen Abbildung... Da muss es doch irgendwie eine Verbindung zwischen den beiden Konditionszahl-Definitionen geben.

Definition für Konditionszahl bei Matrix A: IIAII*IIA^-1II

3) Und für eine nichtlineare Funktion kann ich doch auch ganz normal die Definition der Konditionszahl einer linearen Abb. (siehe oben) nutzen: Bspw. die quadratische Funktion x^2. Da kann ich doch praktisch die Ableitung bilden: 2x und anschließend mit x/x^2 multiplizieren. Das Ergebnis wäre doch 2, oder?

4) Und was mach ich im Falle eines nicht linearen Gleichungssystems mit mehreren Variablen? Wie gehe ich da vor?

ich hoffe, dass irgendwie jemand helfen kann und bedank mich schonmal für jede Antwort!!

Edit:

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gefragt 21.01.2021 um 13:58

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1 Antwort

mikn · Accepted Answer · 2021-01-21T17:24:59Z

Ok, also vorweg: Dein Prof hat NICHT geschrieben, dass A lineare Abb. ist (in Deiner vorigen Frage hast Du einen Auszug aus dem Skript gepostet). Nur weil sie A heißt, ist sie nicht notwendig linear. Merke: wenn eine Vor. nicht da steht, dann existiert sie auch nicht, egal welche Buchstaben verwendet werden.

1.), 2.) Def. zunächst präzise, was Kond in einem LGS heißt. Die rel. Kond. für lineare Abb. ist genauso def. wie für nichtlineare. Beachte aber:

die Kond. von Matrizen, def. als \(\|A\|\cdot \|A^{-1}\|\) ist etwas anderes als die von Dir genannten Formeln. Die von Dir genannten sind Schätzformeln für die Fehlerfortpflanzung, die eben genannte Kondition ist keine Schätzformel, sondern ein math. exakte Abschätzung für den rel. Fehlerverstärkungsfaktor Beachte den Unterschied zwischen "Schätzung" (siehe auch meine Antwort auf Deine vorige Frage) und "Abschätzung". Nur letzteres ist math. exakt.

3.) Ja, stimmt. der rel..Fehler verdoppelt sich GESCHÄTZT.

4. ) Bei mehreren Variablen bezieht man sich logischerweise auf den rel. Fehler in den einzelnen Variablen. In diesem Skript https://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numainfing2011s/media/skriptnumerikinfing.pdf

wird das ausführlich diskutiert, mit Beispielen.