Aus der Vorgabe (gehört das zur Aufgabenstellung oder ist das Teil der Lösung, die Du selbst finden sollst?), weißt Du, dass \(y+x+1\) ein Teiler von \(y^3+x^3-3xy+1\) ist. Den zugehörigen Faktor kannst Du durch Polynomdivision finden, also \(y^3+x^3-3xy+1 : y+x+1\) rechnen, dabei an den y-Potenzen orientieren. Übrig bleibt ein Polynom vom Grad 2 in y (das natürlich auch noch x'e enthält). Deren Nullstellen kannst Du dann mit der p-q-Formel finden (alles in Abhängigkeit von x natürlich). Da wirst Du aber finden, dass es fast(!) keine Nullstellen hat.

Probier mal.