Formen wir die Gleichungen um, erhalten wir

\(x_2+x_3=c\\ x_1+2bx_2+bx_3=0\\x_1+ax_2+(a+b)x_3=ac\)

oder in Matrixschreibweise die erweiterte Koeffizientenmatrix \(\begin{pmatrix}0&1&1&c\\1&2b&b&0\\1&a&a+b&ac\end{pmatrix}.\)

Diese überführen wir durch Zeilenumformungen in eine einfachere Form.

\(\begin{pmatrix}0&1&1&c\\1&2b&b&0\\1&a&a+b&ac\end{pmatrix}\xrightarrow{z_3-z_2}\begin{pmatrix}0&1&1&c\\1&2b&b&0\\0&a-2b&a&ac\end{pmatrix}\xrightarrow[z_3-(a-2b)z_1]{z_2-2bz_1}\begin{pmatrix}0&1&1&c\\1&0&-b&-2bc\\0&0&2b&2bc\end{pmatrix}.\)

Aus der dritten Zeile lesen wir ab \(2bx_3=2bc\Longrightarrow x_3=c\), aus der ersten Zeile \(c=x_2+x_3=x_2+c\Longrightarrow x_2=0\) und aus der zweiten Zeile \(-2bc=x_1-bx_3=x_1-bc\Longrightarrow x_1=-bc.\)

Folglich ist die Lösung genau \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-bc\\0\\c\end{pmatrix}\)