Doppelintegral

Erste Frage Aufrufe: 723     Aktiv: 20.11.2020 um 00:32
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Hallo, 

Habe die Aufgabe vor mir. Ich komme einfach nicht auf den Rechenweg dahinter. Ich dachte mir bei dy kann man x als Vorfaktor rausziehen und somit bleibt für dy = sin (x+pi/2) - sin (x). Dann Vorfaktor reinziehen weil nach dx integriert wird und somit kommt man auf 1/2 * x^2 * (-cos(x+pi/2) + cos (x)) . Leider ist das nicht das Ergebnis laut wolfram....
Kann mir vlt. jemand helfen ich fühle mich verloren :D

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Punkte: 12

 
Werde ich mir gleich Morgen anschauen. Danke für die Empfehlung :)   ─   tonib 20.11.2020 um 00:32
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1 Antwort
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Erstens hängt es von der Aufgabenstellung ab, ob Du einfach so zuerst nach \(y\) integrieren kannst.  Als Reihenfolge wird ja als erstes die Integration nach \(x\) verlangt.  Du müsstest also den Satz von Fubini kennen und anwenden können, um Deine Rechnung zu begründen.

Zweitens hast Du in Deiner partiellen Integration einen Fehler gemacht und beide Funktionen im Produkt gleichzeitig integriert.  Rechne das noch einmal neu.

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Servus, merci für die Antwort.
Ist es nicht egal ob ich erst nach dx oder nach dy integriere, weil ich festgesetzte grenzen habe? Ich habe mir nun mehrere Videos zu dem Satz von Fubini angesehen, leider hat mich das nur mehr verwirrt :(.

zu zweitens: Sollte ich also erstmal xcos(x+y) auflösen quasi x*(cosx*cosy+sinx*siny)? Ich bin mir halt nicht schlüssig wie ich hier die Faktoren behandeln soll...
   ─   tonib 18.11.2020 um 20:40
Hier ist die Reihenfolge egal, weil der Satz von Fubini anwendbar ist (das ist genau die Aussage des Satzes). Das stimmt aber nicht immer.
Nein, die Faktoren für die partielle Integration sind \(x\) und \(\cos(x+y)\). Einer wird integriert und der andere abgeleitet. Treffe Deine Wahl, welcher Term integriert wird, so, dass das resultierende Integral dann einfacher als das ursprüngliche ist.   ─   slanack 18.11.2020 um 21:16
Ok also ich habe nun beide male richtig. Zuerst habe ich nach dx integriert und dass ganze war sehr aufwändig. Dabei habe ich gemerkt, dass das auflösen von cosx+y noch viel umständlicher ist. Als zwischenschritt kam raus: cos(x+y)+x*sin(x+y) und dann beide grenzen einsetzen und so weiter und sofort.
Am ende steht sin(pi/2)+pi/2*-cos(pi/2+pi/2)-sin(pi/2)-sin(pi/2)-cos(pi/2)+sin(0) raus und da komm ich auf das richtige ergebnis von -2+(pi/2).

Danach habe ich das ganze nochmal nach dy zuerst integriert und das ging um einiges schneller, da man x als vorfaktor rausnehmen kann. hier kam dann relativ fix xsin(x+pi/2)-sin(x) raus. Grenzen einsetzen und nach x integrieren kommt man sin(pi/2+pi/2)-pi/2*cos(pi/2+pi/2)-cos(pi/2)-sin(pi/2)-cos(0) und das ganze ergibt -2+pi/2.

Also generell muss ich sagen, dass die Aufgabe ziemlich Leichtsinnsfehleranfällig ist und mir Kopfschmerzen bereitet hat.

Was ich jetzt nicht ganz verstehe warum Sie schreiben, dass eine der beiden Faktoren abgeleitet wird. Oder habe ich das nun einfach übersehen?

Trotzdem merci für die Hilfe.   ─   tonib 19.11.2020 um 13:06
Ich meinte damit, dass in der Formel für partielle Integration \(\int uv'=uv-\int u'v\) die Funktion \(u\) abgeleitet wird. Darum wählt man \(u\) so, dass sich der Ausdruck vereinfacht, also hier \(u(x)=x\): \(\int x\cos(x+y)\,\mathrm{d}x=x\sin(x+y)-\int\sin(x+y)\,\mathrm{d}x=x\sin(x+y)+\cos(x+y)\).   ─   slanack 19.11.2020 um 13:26
Ah okay, vielen Dank für die Erklärung. Muss ehrlich sagen dass mit der Aufleitung von xcosx+y habe ich aus einer Tabelle einer Formelsammlung gefunden.   ─   tonib 19.11.2020 um 13:33

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