Hey,
also du musst bei der Betrachtung von Injektivität gar nicht direkt daran denken, was du da für Zahlen einsetzen sollst. Die Idee der Definition von Injektivität ist, dass du dir 2 beliebige Werte \( x_1, x_2 \) aus deinem Definitionsbereich hernimmst. Klar kannst du dir darunter konkrete Zahlen vorstellen, aber das ist gar nicht der Kern der Thematik.
Jetzt sagt die Injektivität nämlich aus, dass eine Funktion injektiv ist, wenn aus \( f(x_1) = f(x_2) \) folgt, dass \( x_1 = x_2 \) ist.
Das ist erstmal die technische Definition. Was verbirgt sich dahinter? Naja Injektivität bedeutet wörtlich, dass jeder Funktionswert maximal einen \( x \)-Wert besitzt. Wenn 2 verschiedene \( x \) - Werte den gleichen Funktionswert haben, dann ist die Funktion eben nicht injektiv.
Gut veranschaulichen kann man sich das, wenn man sich die Funktion \( f(x) = x^2 \) anschaut. Dort haben wir nämlich für \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 1 \) den gleichen Funktionswert \( f(-1) = f(1) = 1 \). Demzufolge ist diese Funktion nicht injektiv.
So das war die lange theoretische Einleitung zum Thema Injektivität. Du gehst zur Bestimmung der Injektivität nun so vor, dass du \( f(x_1) \) und \( f(x_2 \) gleichsetzt und dann anfängst umzuformen. Am Ende muss \( x_1 = x_2 \) für Injektivität herauskommen.
Bei unserem Beispiel \( f(x) = x^2 \) sähe das wie folgt aus:
\( (x_1)^2 = (x_2)^2 \)
Wurzelziehen führt zu
\( \mid x_1 \mid = \mid x_2 \mid \)
Und dadurch hast du eben nicht die gewünschte Gleichheit und die Funktion ist nicht injektiv.
Ich hoffe das klärt deine Fragen und Unklarheiten zum Thema Injektivität.
Bei der Surjektivität geht man so vor, dass man zeigen will, dass für jedes Element des Wertebereiches auch mindestens ein \( x \)-Wert aus dem Definitionsbereich existiert, so dass die Funktion eben darauf abbildet.
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