Um zu zeigen, dass die Funktion nicht injektiv ist, reicht ein Gegenbeispiel. Da könnte man beispielsweise \( f(1)=1=f(2) \) anführen.

Dass die Funktion stetig ist, kann man damit erschlagen, dass die Funktion eine Komposition stetiger Funktionen ist: Der Betrag ist stetig und \( x \mapsto \frac{1}{x} \) ist stetig, also ist auch deren Komposition \( x \mapsto \frac{1}{\vert x \vert} \) stetig, und da \( x \mapsto x \) stetig ist, muss auch das Produkt \( x \mapsto x \cdot \frac{1}{\vert x \vert }=\frac{x}{\vert x \vert} \) stetig sein.

Als kleiner Tipp: Zum Beweis der Stetigkeit einer Funktion ist das Folgenkriterium in der Regel völlig ungeeignet. Das nutzt man oft dazu, zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig sein kann. Als Faustregel kann man sich merken: Will man Stetigkeit nachweisen, verwendet man das Epsilon-Delta-Kriterium, will man Unstetigkeit nachweisen, verwendet man das Folgenkriterium.