Hallo,

wenn der Rang von \(C\) sogar \(0\) ist, ist \(C\) die Nullmatrix und du bist mit einer Nullzeile und einer Nullspalte fertig mit der Hinrichtung in diesem Fall. Für den Rest der Hinrichtung nehmen wir an, dass der Rang genau \(1\) ist. Das heißt, es existiert eine Zeile \(z_i\) mit Index \(i\), sodass alle anderen Zeilen ein Vielfaches dieser Zeile sind. Diese Zeile ist dein \(X\) (\(X=z_i\)) und in dein \(Y\) schreibst du die Zahlen \(y_k\) \((k=1,\dots,n)\) rein, sodass \(y_k\cdot z_i=z_k\) dir deine Zeile \(z_k\) mit Index \(k\) gibt. Du hast somit auf konstruktive Art und Weise gezeigt, dass es solche Matrizen gibt.

Für die Rückrichtung nimmst du an, du könntest mit zwei solchen Matrizen \(X\) und \(Y\) eine Matrix von Rang größer \(1\) erzeugen. Da die Zeilen deiner Matrix \(C\) aber ja genau Vielfache der Zeile \(X\) sind, kann das nicht der Fall sein.