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Da ich nicht weiß, was du schon gemacht hast:
Zeige zuerst, dass die Gleichheit für \(n=1\) gilt.
Nimm dann an, dass die Gleichung für ein bel. und festes \(n\in \mathbb{N}\) gilt.
Im Induktionsschluss musst du zeigen, dass \(K_{n+1}=p\cdot K_n +a = p\cdot \left(a\cdot \dfrac{1-p^{n}}{1-p}\right)+ a \stackrel{!}{=} a\cdot \dfrac{1-p^{n+1}}{1-p}\) gilt.
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maccheroni_konstante
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Ich habe den Fehler gefunden. Danke!
─
kamil
25.02.2020 um 20:13
Du hast "Kn" in die erste Gleichung eingesetzt. Ich habe (n+1) in die zweite Gleichung eingesetzt. Wieso muss man die erste benutzen? :/
─
kamil
25.02.2020 um 20:40
\(K_{n+1}\) ist per Definition \(p\cdot K_n+a\). Unten steht, was \(K_n\) ist, nämlich `a*(1-p^n)/(1-p)`.
D.h. \(K_{n+1} = p\cdot \left(a\cdot \dfrac{1-p^{n}}{1-p}\right)+ a\).
Nun willst du zeigen, dass wenn \(K_n =\) `a*(1-p^n)/(1-p)` gilt, so gilt auch der Nachfolger \(K_{n+1} = \) `a*(1-p^(n+1))/(1-p)`.
Oben steht, was \(K_{n+1}\) sein soll. Also muss gelten `a*(1-p^(n+1))/(1-p) = ` \(p\cdot \left(a\cdot \dfrac{1-p^{n}}{1-p}\right)+ a\). ─ maccheroni_konstante 25.02.2020 um 21:13
D.h. \(K_{n+1} = p\cdot \left(a\cdot \dfrac{1-p^{n}}{1-p}\right)+ a\).
Nun willst du zeigen, dass wenn \(K_n =\) `a*(1-p^n)/(1-p)` gilt, so gilt auch der Nachfolger \(K_{n+1} = \) `a*(1-p^(n+1))/(1-p)`.
Oben steht, was \(K_{n+1}\) sein soll. Also muss gelten `a*(1-p^(n+1))/(1-p) = ` \(p\cdot \left(a\cdot \dfrac{1-p^{n}}{1-p}\right)+ a\). ─ maccheroni_konstante 25.02.2020 um 21:13