Du kennst vielleicht den Weg über das char. Polynom: Unsere Rekursion \(x_{n+1}-2\,x_n-x_{n-1}=0\) hat das char. Polynom \(\lambda^2-2\lambda-1\). Dann sucht man dessen Nullstellen \(\lambda_1,\lambda_2\) und die Rekursion ist dann (wenn die Nullstellen reell und verschieden sind) \(x_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n\).

Nun zu der Matrix: aufgesplittet lautet die Matrizengleichung: \(x_1=x_1\) (gegen diese Gleichung kann man wirklich nichts sagen ;-)) und \(x_2=x_0+2x_1\), das ist unsere Rekursionsformel. Die eindimensionale zweigliedrige Rekursionsformel ist damit umgeschrieben in eine zweidimensionale eingliedrige Rekursionsformel. Allgemein lautet die Matrix bei der Rekursionsformel \(x_{n+1}=a\,x_{n-1}+b\,x_n\) also \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ a & b\end{pmatrix}\). Im weiteren geht es um die Eigenwerte von \(A\), die Nullstellen des char. Polynoms von \(A\). Und nun die Verbindung der beiden Methoden: Das char. Polynom der Rekursionsformel ist identisch mit dem char. Polynom von \(A\). D.h. die Eigenwerte von \(A\) sind genau die \(\lambda_1,\lambda_2\) aus der anderen Methode. Und diese beiden Werte stehen in der Diagonalen der D-Matrix.