Hallo,
da gibt es mehrere Möglichkeiten, um ans Ziel zukommen. Sofern man die Reihendarstellung vom Sinus (und Kosinus) kennt,
muss man sich mit der Frage beschäftigen, wann man gliederweise differenzieren darf und wann nicht (sofern man es denn rigoros zeigen will).
Mit L'Hospital muss man aufpassen, dass man in keinen Zirkelschluss gerät.
Man kommt aber auch mit sehr einfachen/elementaren Überlegungen durch:
Wie du richtig bemerkt hast, gilt
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin(x) = \lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} = \lim\limits_{h\to 0}\sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h}+ \lim\limits_{h\to 0}\cos(x)\frac{\sin(h)}{h}.\]
Wir behaupten jetzt, dass \[\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1.\]
Nun gilt aber (wieso? Mach es dir am besten geometrisch klar!) \[1 \geq \big|\frac{\sin(\omega)}{\omega}\big| \geq |\cos(\omega)|.\]
Nehmen wir nun auf beiden Seiten den Grenzwert mit $$ \omega \to 0 $$ erhalten wir unsere erste Behauptung.
Als zweites Behaupten wir nun, dass \[\lim\limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}=0.\]
Hierzu können wir unseren eben gezeigten Grenzwert nutzen.
Betrachten wir \[\lim\limits_{h\to 0} \frac{1-\cos(h)}{h}\] und erweitern mit $$1+\cos(h)$$ so folgt
\[\lim\limits_{h\to 0} \frac{1-\cos(h)}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}\frac{\sin(h)}{1+\cos(h)}\]
\[=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{1+\cos(h)}=1\cdot0=0\]
und damit unsere zweite Behauptung.
Insgesamt ergibt sich daher \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\sin(x) = \cos(x).\]
Wie du siehst, braucht man gar keine "höhere" Mathematik, sondern kommt mit den Basics durch.
Gruß,
Gauß
Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K
Auch mobil wird es bei mir richtig angezeigt. Überprüf eventuell mal deine Einstellungen oder versuch die Seite mal zu aktualisieren.
Ggf. könnte das Problem auch temporär bei der Seite selber liegen.
Wie dem auch sei, solange du es nachvollziehen konntest ist ja alles gut. ─ carl-friedrich-gauss 13.03.2020 um 15:50