E Funktion

Aufrufe: 262     Aktiv: vor 6 Monaten, 1 Woche

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Hallo Leute,

Wie leite ich die Funktion ab ? 

Danke 

gefragt vor 6 Monaten, 1 Woche
t
anonym,
Student, Punkte: 130

 
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2 Antworten
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Mit der Kettenregel, und für die innere Funktion die Produktregel. Die äußere Funktion ist die e-Funktion, also ist die äußere Ableitung `e^(ln(x+1)*x^2)`. Die innere Funktion ist `ln(x+1)*x^2`. Diese ist ein Produkt `h(x) = u(x) * v(x)` mit `u(x) = ln(x+1)` und `v(x) = x^2`, und es gilt `u'(x) = 1/(x+1)` und `v'(x)=2x`. Zusammen ergibt dies

`f'(x) = e^(ln(x+1)*x^2) * (u'(x)*v(x) + u(x) * v'(x)) = e^(ln(x+1)*x^2) * ( 1/(x+1)*x^2 + ln(x+1)*2x)`

Man kann das dann wieder umschreiben zu

`f'(x) = (x+1)^(x^2) * ( x^2/(x+1) + 2x*ln(x+1)) = x^2 (x+1)^(x^2-1) +2x*(x+1)^(x^2)*ln(x+1) `  

 

 

geantwortet vor 6 Monaten, 1 Woche
d
digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.64K
 

Fehlt da nicht ganz am Ende nochmal ein \((x+1)^{x^2}\) beim Logarithmus?   ─   sterecht, vor 6 Monaten, 1 Woche

Ja, natürlich. :-) Ich korrigiere es.   ─   digamma, vor 6 Monaten, 1 Woche

Dankeschön! Habe es verstanden   ─   anonym, vor 6 Monaten, 1 Woche
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Den ersten Schritt hast du ja schon selber gut gemacht. Wir können direkt mit dem Differenzieren loslegen.

\(\begin {align}f'(x)&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot [\ln (x+1)x^2]'\\&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot\Big ([\ln (x+1)]'\cdot x^2+\ln (x+1)\cdot [x^2]'\Big)\\&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot\Big (\frac {1}{x+1}\cdot x^2+\ln (x+1)\cdot2x\Big)\\&=(x+1)^{x^2}\cdot x\left (1-\frac {1}{x+1}+2\ln (x+1)\right)\end {align}\)

Im ersten Schritt haben wir die Kettenregel angewandt, im zweiten die Produktregel und im dritten wieder die Kettenregel für die Ableitung des Logarithmus. Schließlich haben wir das ganze noch ein wenig vereinfacht, indem wir die e-Funktion am Anfang wieder zurück umgeschrieben haben und in der Klammer \(x\) ausgeklammert haben.

geantwortet vor 6 Monaten, 1 Woche
s
sterecht
Student, Punkte: 5.25K
 

Das Argument der ln-Funktion ist `x+1`, nicht `x^2+1`.   ─   digamma, vor 6 Monaten, 1 Woche

Ich bin wohl blind, danke.   ─   sterecht, vor 6 Monaten, 1 Woche

Danke, wie immer top erklärt   ─   anonym, vor 6 Monaten, 1 Woche
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