Mit der Kettenregel, und für die innere Funktion die Produktregel. Die äußere Funktion ist die e-Funktion, also ist die äußere Ableitung `e^(ln(x+1)*x^2)`. Die innere Funktion ist `ln(x+1)*x^2`. Diese ist ein Produkt `h(x) = u(x) * v(x)` mit `u(x) = ln(x+1)` und `v(x) = x^2`, und es gilt `u'(x) = 1/(x+1)` und `v'(x)=2x`. Zusammen ergibt dies

`f'(x) = e^(ln(x+1)*x^2) * (u'(x)*v(x) + u(x) * v'(x)) = e^(ln(x+1)*x^2) * ( 1/(x+1)*x^2 + ln(x+1)*2x)`

Man kann das dann wieder umschreiben zu

`f'(x) = (x+1)^(x^2) * ( x^2/(x+1) + 2x*ln(x+1)) = x^2 (x+1)^(x^2-1) +2x*(x+1)^(x^2)*ln(x+1) `  

Den ersten Schritt hast du ja schon selber gut gemacht. Wir können direkt mit dem Differenzieren loslegen.

\(\begin {align}f'(x)&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot [\ln (x+1)x^2]'\\&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot\Big ([\ln (x+1)]'\cdot x^2+\ln (x+1)\cdot [x^2]'\Big)\\&=e^{\ln (x+1)x^2}\cdot\Big (\frac {1}{x+1}\cdot x^2+\ln (x+1)\cdot2x\Big)\\&=(x+1)^{x^2}\cdot x\left (1-\frac {1}{x+1}+2\ln (x+1)\right)\end {align}\)

Im ersten Schritt haben wir die Kettenregel angewandt, im zweiten die Produktregel und im dritten wieder die Kettenregel für die Ableitung des Logarithmus. Schließlich haben wir das ganze noch ein wenig vereinfacht, indem wir die e-Funktion am Anfang wieder zurück umgeschrieben haben und in der Klammer \(x\) ausgeklammert haben.