Hi, ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

"Untersuche die Folge \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) auf Konvergenz und bestimme ggf. ihren Grenzwert."

Ich habe mit dem Taschenrechner gezeigt, dass die Folge gegen 1 konvergiert. Mein Ansatz zum händischen Beweis sehe so aus:

Ich weiß, dass für alle rellen Zahlen \(x\) gilt: \(-1\leq\sin x\leq 1\). Also sollte auch \(\sin(\frac{1}{n})\) mit \(n\in\mathbb{N}\) in diesem Intervall liegen. Dann müsste doch auch eigentlich folgende Ungleichheitskette für alle \(n\in\mathbb{N}\) gelten:

\(\sqrt[n]{-1}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{\sin(\frac{1}{n})}\) \(\leq\) \(\sqrt[n]{1}\)

Die beiden äußeren Folgen konvergieren ja dann gegen 1 und nach dem Sandwichkriterium müsste die eingeschlossene Folge dann auch gegen 1 konvergieren, was schließlich zu zeigen war.

Aber ist das tatsächlich richtig so? ^^