Nein dein Fehler ist folgender:

Es gilt für das Taylorpolynom \(T_{f,x_0} (x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k}\).

Nun sollst du das Taylorpolynom der Funktion \(f(x)=\cos(x)\) im Entwicklungspunkt \(x_0=\dfrac{\pi}{2}\) bis zu \(k=2\) entwickeln. Lass dich nicht irritieren, das \(x\) entspricht deinem \(\alpha\). \(f^{(k)}\) steht für die \(k\)-te Ableitung von \(f(x)\). Die \(0\)-te Ableitung ist die Ausgangsfunktion \(f(x)\) selbst.

Es ergibt sich:

\(T_{cos,\frac{\pi}{4},2} (\alpha) = \displaystyle{\sum_{k=0}^2 \dfrac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)^k =\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{0!} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)^0 +\dfrac{-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1!} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)^1 +\dfrac{-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2!} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)^2 =\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \cdot 1 -\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4} \right)-\dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} \cdot \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)^2 =...}\)

Den Rest kannst du ja erstmal selbst weiter versuchen und zusammenfassen. Müsste eine quadratische Gleichung mit \(\alpha\) als Variable ergeben.

Hoffe das hilft weiter.