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Hallo,
schreib bitte einmal den Identitätssatz für Polynome hier rein.
Mache dir dabei einmal Gedanken, wie die lineare Unabhängigkeit für Vektoren definiert ist. Wie sieht die resultierende Gleichung aus?
Bei der b) hast du als Koeffizienten in den Vektoren nun reelle Zahlen. Das komplexe Polynom
$$ iz^2 + (1-i)z - 1 $$
kann durch komplexe Koeffizienten sofort aufgestellt werden. Die Koeffizienten sind dann \( a = i , b = 1-i \) und \( c= -1 \). Die ersten beiden Koeffizienten kannst du nun aber nicht mehr durch reelle Koeffizienten darstellen. Wieso? Was benötigst du nun also noch zusätzlich?
Grüße Christian
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christian_strack
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Und irgendwie verstehe ich ihren/dein Tipp nicht ganz, kann auch einfach dran liegen, dass das Thema mir sehr fremd ist. :/
─ braumeister 12.12.2020 um 23:07
─ braumeister 12.12.2020 um 23:07
Hmm mit dem Identitätssatz bin ich mir etwas unsicher. Ich glaube damit können wir einen Bezug zum Nullpolynom zeigen.
Fangen wir vorne an. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit nur linear unabhängigen Vektoren. Das wir ein Erzeugendensystem haben, folgt eigentlich sofort aus der Definition eines Polynoms \( p \in \mathbb{P}_2^{\mathbb{C}} \)
$$ p = \lambda_2 x^2 + \lambda_1 x + \lambda_0 \cdot 1 $$
das ist ja gerade ein Polynom. Und das ist gerade eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus der Basis.
Für die linear Unabhängigkeit müssen wir uns etwas überlegen. Wie ist denn lineare Unabhängigkeit definiert? Wie ist das Nullpolynom in \( \mathbb{P}_2^{\mathbb{C}} \) definiert? Wo liegt der Zusammenhang?
Nochmal zur b). Überlegen wir uns das mal etwas anders. Die komplexen Zahlen werden ja häufig in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Das bedeutet, wir können die komplexen Zahlen auch als \( \mathbb{R}^2 \) Vektorraum auffassen. Dabei haben wir dann die Basis
$$ \mathcal{B} = \{ 1, i \} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Dann können wir jede komplexe Zahl auch als Vektor schreiben
$$ a+bi = a \cdot 1 + bi = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$
Dabei sind die Koeffizienten \( a,b \in \mathbb{R} \). Der Vektorraum ist also über dem Körper der reellen Zahlen.
Genauso wie aber \( \mathbb{R} \) ein 1-D Vektorraum ist, können wir auch die komplexen Zahlen als 1-D Vektorraum darstellen. Dann nehmen wir einfach die Basis
$$ \mathcal{C} = \{ 1 \} $$
wir nehmen dann als zugrundeliegenden Körper die komplexen Zahlen, also \( a \in \mathbb{C} \). Nun können wir auch jede komplexe Zahl darstellen, da wir jede komplexe Zahl bereits als Koeffizient wählen können.
Macht dieser Unterschied für dich Sinn? Kannst du das auf die b) übertragen? ─ christian_strack 13.12.2020 um 13:57
Fangen wir vorne an. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit nur linear unabhängigen Vektoren. Das wir ein Erzeugendensystem haben, folgt eigentlich sofort aus der Definition eines Polynoms \( p \in \mathbb{P}_2^{\mathbb{C}} \)
$$ p = \lambda_2 x^2 + \lambda_1 x + \lambda_0 \cdot 1 $$
das ist ja gerade ein Polynom. Und das ist gerade eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus der Basis.
Für die linear Unabhängigkeit müssen wir uns etwas überlegen. Wie ist denn lineare Unabhängigkeit definiert? Wie ist das Nullpolynom in \( \mathbb{P}_2^{\mathbb{C}} \) definiert? Wo liegt der Zusammenhang?
Nochmal zur b). Überlegen wir uns das mal etwas anders. Die komplexen Zahlen werden ja häufig in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Das bedeutet, wir können die komplexen Zahlen auch als \( \mathbb{R}^2 \) Vektorraum auffassen. Dabei haben wir dann die Basis
$$ \mathcal{B} = \{ 1, i \} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Dann können wir jede komplexe Zahl auch als Vektor schreiben
$$ a+bi = a \cdot 1 + bi = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$
Dabei sind die Koeffizienten \( a,b \in \mathbb{R} \). Der Vektorraum ist also über dem Körper der reellen Zahlen.
Genauso wie aber \( \mathbb{R} \) ein 1-D Vektorraum ist, können wir auch die komplexen Zahlen als 1-D Vektorraum darstellen. Dann nehmen wir einfach die Basis
$$ \mathcal{C} = \{ 1 \} $$
wir nehmen dann als zugrundeliegenden Körper die komplexen Zahlen, also \( a \in \mathbb{C} \). Nun können wir auch jede komplexe Zahl darstellen, da wir jede komplexe Zahl bereits als Koeffizient wählen können.
Macht dieser Unterschied für dich Sinn? Kannst du das auf die b) übertragen? ─ christian_strack 13.12.2020 um 13:57
─ braumeister 12.12.2020 um 21:42