Hi jonas,

du musst dir im Klaren darüber sein, dass die Landau-Symbole Mengen darstellen. Diese werden häufig dazu verwendet um zum Beispiel Laufzeiten von Algorithmen einzuorden oder auch im Bereich der Numerik um Fehler von numerischen Methoden abzuschätzen. Hier auch meistens im Zusammenhang mit der Taylorfomel. 

Schauen wir uns doch mal die mathematische Definition von \( \mathcal{O}(g) \) an:

\( f \in \mathcal{O}(g): \exists C > 0 \exists x_0 >0 \forall x>x_0:  \vert f(x) \vert \le C \cdot \vert g(x) \vert\) 

In einfachen Worten heißst das so viel wie "Ab einem gewissen Punkt \(x_0\) wächst \(f\) nicht wesentlich schneller als \(g\).", oder "\(\mathcal{O}(g)\) enthält alle Funktionen, die höchstens so schnell wachsen wie \(g\)."

In dem Fall kann man \(x \cdot \mathcal{O}(x^{6})\) so interpretieren, dass man die Elemente aus \( \mathcal{O}(x^{6}) \) um einen Faktor \(x \) erhöht. Betrachtet man jetzt das "größte" Element aus der Menge \(\mathcal{O}(x^{6})\) nämlich eine Funktion der Form \(c \cdot x^{6} + \mathcal{O}(x^{5})\) und multipliziert das mit \(x\) erhält man \( c \cdot x^{7} + \mathcal{O}(x^{6})\), was offensichtlich in \( \mathcal{O}(x^{7}) \) liegt.