Es wurde \(3^k\) weggekürzt, übrig blieb 3 im Zähler. Es wurde \((2k)!\) weggekürzt, übrig blieb \((2k+2)(2k+1)\) im Nenner. Außerdem wurde \(k!\) weggekürzt, übrig blieb \((k+1)\) im Zähler.

Wenn du jetzt noch im Nenner bei \((2k+2)\) eine 2 ausklammerst, dann kürzt sich \((k+1)\) auch noch weg und du kannst den Rest so zusammenfassen, dass dieser Term stets \(<1\) ist. Damit wäre deine Reihe absolut konvergent.

Hoffe das hilft weiter.

Durch Kürzen: \(\frac{3^{k+1}}{3^k}=3\), \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) und \(\frac{(2k)!}{(2k+2)!}=\frac{1}{(2k+2)(2k+1)}\).