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Die Idee dahinter ist die Folgende:
Wenn wir an der Stelle \( x_0 \) ein relatives Maximum für die Funktion \(f\) haben, dann bedeutet das ja gerade, dass für \(x\)-Werte, die nahe bei \(x_0\) liegen, die Ungleichung \( f(x) \le f(x_0) \) gilt (das ist quasi die Definition eines relativen Maximums). Wenn man jetzt bei \(f\) immer nur positive Zahlen rausbekommt (wie beispielsweise bei einer Wurzelfunktion), dann ist die Ungleichung \( f(x) \le f(x_0) \) völlig äquivalent zur Ungleichung \( f(x)^2 \le f(x_0)^2 \) (von der ersten Ungleichung kommen wir zur zweiten durch Quadrieren und von der zweiten zur ersten kommen wir durchs Wurzelziehen. Das klappt aber wirklich nur, wenn \(f\) positiv ist). Die letztere Ungleichung bedeutet aber ja gerade, dass bei \( x_0 \) auch ein relatives Maximum für die Funktion \( f^2 \) vorliegt.
D.h. wenn \(f\) immer nur positive Werte annimmt, dann ist es egal, ob wir die Stellen für die relativen Maxima von \( f \) oder von \( f^2 \) ausrechnen. Die sind nämlich immer gleich.
Entprechend gilt genau die gleiche Aussage für Minima: Wenn \(f\) immer nur positive Werte annimmt, dann ist es egal, ob wir die Stellen für die relativen Minima von \( f \) oder von \( f^2 \) ausrechnen.
Machen wir mal ein Beispiel: Die Funktion \( f(x)= \sqrt{x^2-2x+5} \) ist immer positiv, also können wir die relativen Extremstellen von \(f\) mithilfe der Extremstellen von \(f^2\) bestimmen.
Es ist \( f(x)^2 = x^2-2x+5 \).
Die Ableitung ist nun \( (f(x)^2)^\prime = 2x-2 \). Setzten wir die Ableitung gleich Null, dann erhalten wir als mögliche Extremstelle \( x= 1 \).
Die zweite Ableitung ist \( (f(x))^{\prime\prime} = 2 \), also ist sie insbesondere für \( x=1 \) positiv. D.h. an der Stelle \( x= 1 \) liegt ein relatives Minimum von \( f^2 \) vor.
Damit wissen wir nun, dass auch \( f \) als einzige relative Extremstelle ein relatives Minimum bei \( x=1 \) haben muss. Durch Einsetzen können wir jetzt noch den Wert des Minimus bestimmen. Es ist \( f(1)=2 \).
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Die Nullstellen haben erstmal nichts mit den Extremstellen einer Funktion zu tun. ─ 42 18.11.2020 um 22:59
Generell kann man sich erstmal auf die positiven Teile der Funktion beschränken. Da ist die Funktion ja dann so wie wir sie haben wollen und die relativen Minima bzw. Maxima von \( f \) und \( f^2 \) liegen in diesen Bereichen an den gleichen Stellen.
Zum Merken: Bekommst du beim Einsetzen der Extremstellen in \( f \) einen positiven Wert, dann ist alles gut.
In Bereichen, wo die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, vertauscht sich das ganze. Um das einzusehen, brauchen wir einen kleinen Trick: Wenn in einem Bereich die Funktion \(f\) unterhalb der x-Achse verläuft, dann verläuft dort \( -f \) oberhalb der x-Achse. Dann können wir wieder sagen, dass die relativen Minima und Maxima von \( -f \) und \( (-f)^2 = f^2 \) an den gleichen Stellen sind. Man kann sich jetzt überlegen: Ein relatives Minimum von \( -f \) ist ein relatives Maximum von \( f \) und umgekehrt. Wir erhalten dann also die Aussage, dass die Stellen der relativen Minima von \( f \) genau die Stellen der relativen Maxima von \( f^2 \) sind. Für Maxima erhalten wir die gleiche Aussage: Die Stellen der relativen Maxima von \( f \) sind genau die Stellen der relativen Minima von \( f^2 \).
Zum Merken: Bekommst du beim Einsetzen der Extremstellen in \( f \) einen negativen Wert raus, dann musst du quasi tauschen. Es ist ein relatives Maximum, wenn es bei \( f^2 \) ein relatives Minimum war und es ist ein relatives Minimum, wenn es bei \( f^2 \) ein relatives Maximum war.
Für den Fall, dass \( f \) Null wird, können wir folgende Aussagen treffen: Sind ein bisschen weiter links und ein bisschen weiter rechts die Werte von \( f \) kleiner Null, dann ist es ein relatives Maximum. Sind sie größer als Null, dann ein relatives Minimum. Wechseln sie das Vorzeichen, dann ist es ein Sattelpunkt. Das folgt unmittelbar aus den Definitionen und kann man sich auch ganz einfach in einer Klausur überlegen, wenn man verstanden hat, was relatives Minimum, Maximum und Sattelpunkt eigentlich heißt.
Ansonsten kann aber nicht viel passieren (das auf dem Zettel mit "z.B. bei den Nullstellen von \(f\)" deckt eigentlich schon alle blöden Fälle ab). Für die globalen Extrema muss man dann natürlich wie gewohnt immer eine Randbetrachtung machen. Da kommt man nicht drum rum. ─ 42 19.11.2020 um 13:09
─ lisaaa333 18.11.2020 um 21:20