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Hallo,
nimm dir doch mal einen allgemeinen Vektor \( p \). Schreibe wenn es für dich einfacher ist anstatt \( m_k \) als Basisvektor dann \( x^k \).
Welche Vektoren liegen in \( U \). Wie sieht die Basis von \( U \) aus?
Dann schau mal hier. Dort wird beschrieben, wie die Projektion eines Vektors beschrieben wird.
Falls sich Fragen auftun oder du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Fangen wir ganz vorne an. Erstmal müssen wir wissen wie \( U \) aussieht.
Da \( U \) ein UVR von \( \mathcal{P}_2 \) hast du schon mal damit recht, dass in \( U \) nur Polynome vom Grad 2 oder kleiner sind.
Für welche dieser Polynome gilt denn zusätzlich
$$ p(0)=0 $$
Wie gesagt schreibe dir sonst mal ein allgemeines Polynom aus \( \mathcal{P}_2 \) auf und schreibe anstatt \( m_k \) dann \( x^k \). ─ christian_strack 11.07.2020 um 16:09
Da \( U \) ein UVR von \( \mathcal{P}_2 \) hast du schon mal damit recht, dass in \( U \) nur Polynome vom Grad 2 oder kleiner sind.
Für welche dieser Polynome gilt denn zusätzlich
$$ p(0)=0 $$
Wie gesagt schreibe dir sonst mal ein allgemeines Polynom aus \( \mathcal{P}_2 \) auf und schreibe anstatt \( m_k \) dann \( x^k \). ─ christian_strack 11.07.2020 um 16:09
Ich habe das allgemeine Polynom schon aufgeschrieben, jedoch vergessen ein Bild hinzuzufügen,
Ich habe Schwierigkeit, die Basis von U zu bestimmen und zu verstehen. Was ich nicht verstehe: U ist ein UVR von P₂. Da sind Polynome von höchstens Grad 2 zu finden. Wie kann ich erkennen, um welchen Grad es sich handelt? Wäre es der Grad 2, dann wäre es der ganze P₂, also wäre es kein Unterraum, sondern genau wie der gegebene ganze Vektorraum P₂? Wird er dann auf sich selbst abgebildet? Man kann doch nur auf einen Unterraum abbilden, der immer kleiner ist als ein anderer Raum, deswegen heißt es ein Unterraum, oder?
Für Polynome x² und x¹ gilt p(0)=0.
─ kamil 12.07.2020 um 10:24
Ich habe Schwierigkeit, die Basis von U zu bestimmen und zu verstehen. Was ich nicht verstehe: U ist ein UVR von P₂. Da sind Polynome von höchstens Grad 2 zu finden. Wie kann ich erkennen, um welchen Grad es sich handelt? Wäre es der Grad 2, dann wäre es der ganze P₂, also wäre es kein Unterraum, sondern genau wie der gegebene ganze Vektorraum P₂? Wird er dann auf sich selbst abgebildet? Man kann doch nur auf einen Unterraum abbilden, der immer kleiner ist als ein anderer Raum, deswegen heißt es ein Unterraum, oder?
Für Polynome x² und x¹ gilt p(0)=0.
─ kamil 12.07.2020 um 10:24
Ganz allgemein ist ein Vektorraum auch UVR von sich selbst, so wie eine Menge auch Teilmenge von sich selbst sein kann.
Aber ja wir haben wir auch nicht alle Vektoren aus \( \mathcal{P}_2 \). Wir haben nur die für die \( p(0) = 0 \) gilt.
Wir nehmen das allgemeine Polynom
$$ p(x) = ax^2 + bx + c $$
Wenn wir da \( 0 \) einsetzen erhalten wir
$$ p(0) = c = 0 $$
also liegen alle Polynome mit konstanten Wert gleich Null im UVR. Also Polynome der Form
$$ q(x) = ax^2 + bx $$
vergiss nicht, dass die allgemeine Polynomschreibweise im Prinzip nichts anderes als eine Linearkombination bzgl der Basis der Monome ist.
Welche Basisvektoren brauchen wir, um \( q(x) \) darzustellen? Du hast es im Prinzip schon gesagt. ─ christian_strack 13.07.2020 um 10:31
Aber ja wir haben wir auch nicht alle Vektoren aus \( \mathcal{P}_2 \). Wir haben nur die für die \( p(0) = 0 \) gilt.
Wir nehmen das allgemeine Polynom
$$ p(x) = ax^2 + bx + c $$
Wenn wir da \( 0 \) einsetzen erhalten wir
$$ p(0) = c = 0 $$
also liegen alle Polynome mit konstanten Wert gleich Null im UVR. Also Polynome der Form
$$ q(x) = ax^2 + bx $$
vergiss nicht, dass die allgemeine Polynomschreibweise im Prinzip nichts anderes als eine Linearkombination bzgl der Basis der Monome ist.
Welche Basisvektoren brauchen wir, um \( q(x) \) darzustellen? Du hast es im Prinzip schon gesagt. ─ christian_strack 13.07.2020 um 10:31
Um q(x) darzustellen, brauchen wir die Basis x² und x? Aber wieso sieht q(x)=ax²+bx aus? Wo ist das c? C ist doch auch konstant Null? Und wie gehe ich danach vor?
─
kamil
13.07.2020 um 13:00
Ja genau \( c \) ist gleich Null. Wir können natürlich auch
$$ q(x) = ax^2 + bx^1 + 0x^0$$
schreiben. Wir brauchen den Basisvektor \( x^0 \) aber nicht. Deshalb lassen wir ihn einfach weg.
So nun gilt aber richtig
$$ U = \left< \left\{ x , x^2 \right\} \right> = \left< \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \right> $$
So nun da wir die Basis haben und wissen wie der UVR aussieht, können wir die orthogonale Projektion berechnen.
Da wir hier eine Orthonormalbasis haben, vereinfacht sich die Rechnung stark.
Ist dir klar warum wir so eine Basis haben?
Wir kommen auf die Formel
$$ Q_{U}=\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H} $$
Dabei sind die \( y_i \) die Koordinatenvektoren bzgl der Basis unseres Vektorraums. Da die beiden Basisvektoren von \( U \) allerdings auch Basisvektoren von \( \mathcal{P}_2 \) sind, sind die Koordinatenvektoren sofort die Basisvektoren. Also
$$ U = < \{ y_1 , y_2 \} > $$
Wie sieht nun die Matrix aus? Kannst du die Produkte \( y_i \cdot y_i^H \) berechnen? ─ christian_strack 13.07.2020 um 14:27
$$ q(x) = ax^2 + bx^1 + 0x^0$$
schreiben. Wir brauchen den Basisvektor \( x^0 \) aber nicht. Deshalb lassen wir ihn einfach weg.
So nun gilt aber richtig
$$ U = \left< \left\{ x , x^2 \right\} \right> = \left< \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \right> $$
So nun da wir die Basis haben und wissen wie der UVR aussieht, können wir die orthogonale Projektion berechnen.
Da wir hier eine Orthonormalbasis haben, vereinfacht sich die Rechnung stark.
Ist dir klar warum wir so eine Basis haben?
Wir kommen auf die Formel
$$ Q_{U}=\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H} $$
Dabei sind die \( y_i \) die Koordinatenvektoren bzgl der Basis unseres Vektorraums. Da die beiden Basisvektoren von \( U \) allerdings auch Basisvektoren von \( \mathcal{P}_2 \) sind, sind die Koordinatenvektoren sofort die Basisvektoren. Also
$$ U = < \{ y_1 , y_2 \} > $$
Wie sieht nun die Matrix aus? Kannst du die Produkte \( y_i \cdot y_i^H \) berechnen? ─ christian_strack 13.07.2020 um 14:27
Warum wir so eine Basis haben, ist mir klar. Allerdings ist mir der Zusammenhang zwischen p(x) und q(x) nicht klar. Wir berechnen p(0) und kommen auf das Polynom von q(x)=ax²+bx¹. Wie hängt das zusammen?
Und dann habe ich keinen Plan, wie man das berechnet. 😅 ─ kamil 13.07.2020 um 15:24
Und dann habe ich keinen Plan, wie man das berechnet. 😅 ─ kamil 13.07.2020 um 15:24
\( q(x) \) ist nur ein Name. Habe einen anderen Namen gewählt, weil \( p \in \mathcal{P}_2 \) gilt und nun soll \( q \in U \) sein.
Wie sieht denn der erste Basisvektor von \( U \) aus? Nennen wir diesen mal \( y_1 \). Wie sieht dann \( y_1^H \) aus? Da die Basisvektoren alle reell sind, können wir auch \( y_1^T \) schreiben.
Danach musst du beides nur noch multiplizieren. \( y_1 \) ist eine 3x1 Matrix und \( y_1^T \) ist eine 1x3 Matrix. Das Produkt ist dann was für eine Matrix? ─ christian_strack 13.07.2020 um 18:06
Wie sieht denn der erste Basisvektor von \( U \) aus? Nennen wir diesen mal \( y_1 \). Wie sieht dann \( y_1^H \) aus? Da die Basisvektoren alle reell sind, können wir auch \( y_1^T \) schreiben.
Danach musst du beides nur noch multiplizieren. \( y_1 \) ist eine 3x1 Matrix und \( y_1^T \) ist eine 1x3 Matrix. Das Produkt ist dann was für eine Matrix? ─ christian_strack 13.07.2020 um 18:06
Okay, ich sehe gerade, bevor ich das multipliziere, will ich nochmal die Basis verstehen. Muss nicht x²=(1 0 0)^T sein? Und x=(0 1 0)^T? Von dem Basiselement x⁰=1 brauchen wir nichts? Also an der letzten Stelle gehört die 0 hin bzgl. der Basiselemente? Weil du hast es anders aufgeschrieben, nämlich x²=(0 1 0) z.B. wenn du mal hochscrollst.
Danach wollte ich nochmal fragen, was das ^H bei y₁^H ist? Ich vermute mal, die adjungierte Matrix? Bei mir in der Vorlesung versehen wir es mit einem Stern=*.
Wenn ich beide Vektoren, y₁ und y₂ mit deren transponierten Teilen multipliziere, kommt eine Matrix raus. Aber was für eine habe ich wieder keinen Plan. Es hat aber etwas mit dem Skalarprodukt zutun?
Das ist eine Aufgabe, bei der ich echt kaum Vorwissen habe. Habe echt Schwierigkeit zu verstehen, was ich hier mache😆 ─ kamil 13.07.2020 um 20:45
Danach wollte ich nochmal fragen, was das ^H bei y₁^H ist? Ich vermute mal, die adjungierte Matrix? Bei mir in der Vorlesung versehen wir es mit einem Stern=*.
Wenn ich beide Vektoren, y₁ und y₂ mit deren transponierten Teilen multipliziere, kommt eine Matrix raus. Aber was für eine habe ich wieder keinen Plan. Es hat aber etwas mit dem Skalarprodukt zutun?
Das ist eine Aufgabe, bei der ich echt kaum Vorwissen habe. Habe echt Schwierigkeit zu verstehen, was ich hier mache😆 ─ kamil 13.07.2020 um 20:45
Es kommt immer ganz drauf an wie hier die Basis geordnet wird.
Die Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \) ist
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Nun sind die Standardvektoren des Polynomraums \( \mathcal{P}_n \) die Monome bis zur Potenz \( n \). Für die Reihenfolge gibt es aber keine "einheitliche Einigung". Manchmal ist das erste Basiselement \( x^n \) und dann geht die Reihenfolge mit absteigender Potenz weiter und manchmal fängt die Basis bei \( 1 = x^0 \) an und die Reihenfolge geht mit aufsteigender Potenz weiter.
Ich habe meine ich bis jetzt beides in deinen Aufgaben gesehen, deshalb weiß ich nicht ob ihr eine einheitliche Reihenfolge nutzt.
Da allerdings in deiner Aufgabe von \( m_k = x^k \) gesprochen wird, ist denke ich \( m_0= x^0 \) der erste Basisvektor usw.
Wenn in deinem Fall \( x^2 \) der erste Basisvektor wäre, hättest du aber absolut recht mit der Vektordarstellung :)
Im Zweifelsfall frag deinen Prof einmal, um zu wissen ob er dort eine bevorzugte Reihenfolge hat.
Ah ok ja genau mit dem H ist adjungiert gemeint. Dann lag da das Missverständnis :) Ich versuche im folgenden * zu schreiben, obwohl es in der Aufgabe keine Rolle mehr spielen wird, da deine Koeffizieten reell sind, ist die adjungierte gleich der transponierten.
Denk erstmal ganz allgemein an Matrizen. Eine 2x3 mal einer 3x4 Matrix ergibt eine 2x4 Matrix. Allgemein ergibt eine nxm Matrix multipliziert mit einer mxk Marix, eine nxk Matrix.
Wir erhalten also in unserem Fall eine 3x3 Matrix.
Das Skalarprodukt (zumindest das Standardskalarprodukt) kann durch
$$ x^* \cdot x $$
berechnet werden. Denn dann multiplizieren wir eine 1xn Matrix mit einer nx1 Matrix und erhalten so eine 1x1 Matrix. Das ist nichts anderes als ein Skalar.
Wir wollen aber wie gesagt
$$ x \cdot x^* $$
rechnen. Gucken wir uns das mal für den ersten Basisvektor an
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = ? $$
Interessiert dich woher die Formel kommt? Wenn du wissen willst warum du das ganze machst, kann ich gerne noch etwas weiter ausholen :) ─ christian_strack 13.07.2020 um 21:33
Die Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \) ist
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Nun sind die Standardvektoren des Polynomraums \( \mathcal{P}_n \) die Monome bis zur Potenz \( n \). Für die Reihenfolge gibt es aber keine "einheitliche Einigung". Manchmal ist das erste Basiselement \( x^n \) und dann geht die Reihenfolge mit absteigender Potenz weiter und manchmal fängt die Basis bei \( 1 = x^0 \) an und die Reihenfolge geht mit aufsteigender Potenz weiter.
Ich habe meine ich bis jetzt beides in deinen Aufgaben gesehen, deshalb weiß ich nicht ob ihr eine einheitliche Reihenfolge nutzt.
Da allerdings in deiner Aufgabe von \( m_k = x^k \) gesprochen wird, ist denke ich \( m_0= x^0 \) der erste Basisvektor usw.
Wenn in deinem Fall \( x^2 \) der erste Basisvektor wäre, hättest du aber absolut recht mit der Vektordarstellung :)
Im Zweifelsfall frag deinen Prof einmal, um zu wissen ob er dort eine bevorzugte Reihenfolge hat.
Ah ok ja genau mit dem H ist adjungiert gemeint. Dann lag da das Missverständnis :) Ich versuche im folgenden * zu schreiben, obwohl es in der Aufgabe keine Rolle mehr spielen wird, da deine Koeffizieten reell sind, ist die adjungierte gleich der transponierten.
Denk erstmal ganz allgemein an Matrizen. Eine 2x3 mal einer 3x4 Matrix ergibt eine 2x4 Matrix. Allgemein ergibt eine nxm Matrix multipliziert mit einer mxk Marix, eine nxk Matrix.
Wir erhalten also in unserem Fall eine 3x3 Matrix.
Das Skalarprodukt (zumindest das Standardskalarprodukt) kann durch
$$ x^* \cdot x $$
berechnet werden. Denn dann multiplizieren wir eine 1xn Matrix mit einer nx1 Matrix und erhalten so eine 1x1 Matrix. Das ist nichts anderes als ein Skalar.
Wir wollen aber wie gesagt
$$ x \cdot x^* $$
rechnen. Gucken wir uns das mal für den ersten Basisvektor an
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = ? $$
Interessiert dich woher die Formel kommt? Wenn du wissen willst warum du das ganze machst, kann ich gerne noch etwas weiter ausholen :) ─ christian_strack 13.07.2020 um 21:33
Das ist gut, die Standardvektoren kann man in absteigender oder aufsteigender Weise fortführen. Bei dir ist das x² aber in der Mitte. Muss es nicht am Anfang oder am Ende sein xD? Oder kann man das jetzt beliebig ordnen?
Ich habe sie auch aus multipliziert, wie du meintest. Ich habe jetzt zwei 3x3 Matritzen lauter Nullen.
Die Formel interessiert mich nur, wenn du motivierend Lust hast sie mir zu erklären. Ansonsten nur den Weg zu der Lösung der Aufgabe ist das wichtigste. Ich will ja nicht zu viel verlangen. Ich kann nicht verlangen alle Herleitungen zu verstehen. Ich glaube das wird zu viel. Ohne das geht die Welt auch nicht unter. Oder ich brauche die alle später als Ingenieur.. Dann geht meine Welt unter :D
─ kamil 13.07.2020 um 22:32
Ich habe sie auch aus multipliziert, wie du meintest. Ich habe jetzt zwei 3x3 Matritzen lauter Nullen.
Die Formel interessiert mich nur, wenn du motivierend Lust hast sie mir zu erklären. Ansonsten nur den Weg zu der Lösung der Aufgabe ist das wichtigste. Ich will ja nicht zu viel verlangen. Ich kann nicht verlangen alle Herleitungen zu verstehen. Ich glaube das wird zu viel. Ohne das geht die Welt auch nicht unter. Oder ich brauche die alle später als Ingenieur.. Dann geht meine Welt unter :D
─ kamil 13.07.2020 um 22:32
Ach jetzt sehe ich was du meinst. Ja war ein Tippfehler meinerseits. Du hast recht, es ist
$$ x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad x^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ja beide Matrizen haben tatsächlich auch nur an einer Stelle keine Null. Die Summe beider Matrizen hat dann an zwei Stellen einen Wert ungleich Null.
Es ist
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Wenn man bedenkt, das die Einheitsmatrix die Identitätsabbildung ist, also jeden Wert auf sich selbst abbildet, macht das Ergebnis auch Sinn. Unsere Matrix bildet den zweiten und dritten Basisvektor auf sich selbst ab und denn dritten auf Null. So werden alle Vektoren nur noch in \( U \) abgebildet :)
Zu der Herleitung schreibe ich dir morgen noch ein paar Sätze :) ─ christian_strack 14.07.2020 um 00:56
$$ x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad x^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ja beide Matrizen haben tatsächlich auch nur an einer Stelle keine Null. Die Summe beider Matrizen hat dann an zwei Stellen einen Wert ungleich Null.
Es ist
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Wenn man bedenkt, das die Einheitsmatrix die Identitätsabbildung ist, also jeden Wert auf sich selbst abbildet, macht das Ergebnis auch Sinn. Unsere Matrix bildet den zweiten und dritten Basisvektor auf sich selbst ab und denn dritten auf Null. So werden alle Vektoren nur noch in \( U \) abgebildet :)
Zu der Herleitung schreibe ich dir morgen noch ein paar Sätze :) ─ christian_strack 14.07.2020 um 00:56
Ich habe noch mal ein Tipp der Aufgabe übersehen. Am Ende stand eine Formel. Ich habe es ausgerechnet. Ist es das gleiche, was wir hier machen? Kann das stimmen?
─
kamil
14.07.2020 um 11:57
Oh stimmt wir sind ja noch gar nicht fertig, Wir haben jetzt die Abbildungsmatrix der Projektion bestimmt. Wir wollen aber natürlich die Projektion von \( f \) wissen.
Das was da bei dir steht und das was wir gemacht haben ist von der Idee das gleiche. Du musst bei uns nur noch \( f \) durch die Abbildung abbilden.
Zu deiner Rechnung die ist leider falsch. Durch die Skalarprodukte darf jedes mal natürlich nur ein Skalar herauskommen. Du erhälst aber Polynome. Guck dir nochmal genau die Definiton des Skalarproduktes an.
Bedenke auch, das die Projektion in \( U \subset \mathcal{P}_2 \) liegt. Damit darf die Projektion nur ein Polynom von Grad 2 oder kleiner sein. ─ christian_strack 14.07.2020 um 17:56
Das was da bei dir steht und das was wir gemacht haben ist von der Idee das gleiche. Du musst bei uns nur noch \( f \) durch die Abbildung abbilden.
Zu deiner Rechnung die ist leider falsch. Durch die Skalarprodukte darf jedes mal natürlich nur ein Skalar herauskommen. Du erhälst aber Polynome. Guck dir nochmal genau die Definiton des Skalarproduktes an.
Bedenke auch, das die Projektion in \( U \subset \mathcal{P}_2 \) liegt. Damit darf die Projektion nur ein Polynom von Grad 2 oder kleiner sein. ─ christian_strack 14.07.2020 um 17:56
Ohh f durch die Abbildung abbilden heißt, f als Linearkombination aus der Abbildungsmatrix zu schreiben? War es das? Geht bei mir nicht auf.
Dann meine zweite Idee bzgl. des Skalarprodukts: Anstatt die Polynome, habe ich die Basisvektoren genommen. Am Ende kommt 1. Mehr Ideen fallen mir nicht ein ─ kamil 14.07.2020 um 20:41
Dann meine zweite Idee bzgl. des Skalarprodukts: Anstatt die Polynome, habe ich die Basisvektoren genommen. Am Ende kommt 1. Mehr Ideen fallen mir nicht ein ─ kamil 14.07.2020 um 20:41
Fast. Du hast dich beim Skalarprodukt an einer Stelle verrechnet.
$$ < \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} > \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + < \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -x^2 $$
wenn wir den Vektor durch unsere Matrix abbilden, erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -x^2 $$ ─ christian_strack 15.07.2020 um 09:34
$$ < \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} > \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + < \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -x^2 $$
wenn wir den Vektor durch unsere Matrix abbilden, erhalten wir
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -x^2 $$ ─ christian_strack 15.07.2020 um 09:34
Bei mir in der Aufgabe gibt es p und q. Spielt die Wahl der Buchstaben keine Rolle, oder gibt es feste Definitionen?
Ich habe den Vektor p als Basisvektor geschrieben. Genauer genommen, seinen Koordinatenvektor?
In U liegt p von Polynomen höchstens Grads 2 als Vektor? Wie kann ich die Basis von U sehen? Meinst du die Basis von p? Ich sehe gerade nur den Sinn, wie man die Basis von p oder q bestimmen kann?
Die Aufgabe macht es mir zu schaffen ─ kamil 10.07.2020 um 17:08