Hi, was genau verstehst du denn nicht?

Unsere Ausgangssituation ist, dass wir 2 Laplace- Würfel haben, von denen der eine rot und der andere schwarz ist. (Laplace- Würfel bedeutet hier, dass die Würfel "normal" sind - also alle Zahlen, die gewürfelt werden können, sind gleichwahrscheinlich). 

Bei (a) i) würfeln wir beide Würfel einmal. Ich schreibe dir dazu einamal die Ergebnismenge auf. Die Ereignisse schreibe ich in der From \((a/b)\), wobei \(a\) die Augenzahl des roten Würfels ist und \(b\) die Augenzahl des schwarzen Würfels ist. Also:

\(\Omega=\{(1/1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\(5,1)(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\) 

So, jetzt wollen wir die Augenzahl des roten Würfels von der Augenzahl des schwarzen Würfels abziehen. Welche Zahlen können wir alles erhalten? Picken wir uns mal das Ereignis \((5,6)\) heraus, also rot zeigt eine 5 und schwarz eine 6. Wir rechnen also 5-6=-1. In diesem Fall erhalten wir -1. Bei den Ereignissen \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\) erhalten wir ebenfalls die -1. Also gibt es 5 von insgesamt 36 Fällen, in denen wir eine -1 erhalten. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt also \(\frac{5}{36}\). Weiterhin können wir die Zahl 0 erhalten. Dazu müssen die Ereignisse \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für die 0 beträgt also \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).

Ist dieser Teil damit klar?

Bei (a) ii) wird die kleinere von der größeren Zahl subtrahiert. Jetzt können wir also keine negativen Zahlen erhalten. Beispielsweise können wir die Zahl 3 erhalten. Und zwar genau bei den Ereignissen \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\). Die 3 erhalten wir also in 6 von 36 Fällen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{36}\). Bei den anderen Ereignissen machst du genau so weiter. Du überlegst dir immer, welche Ereignisse du brauchst, damit wir nach der Subtraktion die Zahl 0,1,2 usw. erhalten. 

(b) schaffst du jetzt bestimmt auch allein :)

Bei weiteren Fragen kannst du dich gerne wieder melden!

Ich versuche mal, dir Teil (b) so verständlich es geht zu erklären:

Unsere Ausgangssituation ist erst einmal, dass wir 2 Personen haben, die einen Würfel werfen. Sandra wirft 2mal den Würfel und addiert dann die beiden Augenzahlen. Heiko wirft nur einmal und verdoppelt dann seine Augenzahl. Als erstes wollen wir versuchen, zu beiden Situationen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in Form einer Tabelle zu bestimmen. 

Fangen wir mal mit Sandra an:

Das Gerüst der Tabelle sieht so aus:

                   Ereignis:

Wahrscheinlichkeit:

In die erste Zeile schreiben wir alle Ereignisse, die auftreten können. Mit Ereignis ist hier die Zahl gemeint, die Sandra erhalten kann, wenn sie zwei gewürfelte Augenzahlen addiert. Sandra kann z.B. eine 1 und eine 5 würfeln. In der Summe macht das also eine 6 (1+5). Sandra kann auch eine 2 und eine 3 würfeln. In der Summe macht das eine 5 (2+3). Oder Sandra würfelt 2mal eine 1. In der Summe also eine 2 (1+1). Du kannst dir hier mal vorstellen, dass Sandra Monopoly spielt. Dort würfelt man ja auch mit 2 Würfeln, addiert die Augenzahlen und setzt dann seine Figur um diese Zahl weiter nach vorne. Welche Möglichkeiten gibt es denn, wie weit du deine Figur weiter nach vorne setzen kannst? Offensichtlich würde die 1 hier nicht gehen, denn die kleinst mögliche Zahl wäre, dass du mit beiden Würfeln eine 1 würfelst und dann in der Summe ein 2 hast. Die größt mögliche Zahl, um die du deine Figur nach vorne setzen kannst, wäre eine 12. Dazu musst du mit beiden Würfeln eine 6 würfeln. Und alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und 12 kannst du ebenfalls mit 2 Würfeln erreichen. Also ergänzen wir diese Ereignisse in die Tabelle:

                Ereigniss:   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Wahrscheinlichkeit: 

Jetzt benötigen wir noch die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse. Dazu müssen wir uns überlegen, wie viele Würfelmöglichkeiten es insgesamt gibt und welche davon ein Ereignis erfüllen. Die gesamten Würfelkombinationen sind:  

\(\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\)

Die Schreibweise \((1,1)\) bedeutet, dass Sandra im 1. Wurf eine 1 würfelt und im 2. Wurf auch eine 1. Verstehst du dann, warum dies alle möglichen Würfelkombinationen mit 2 Würfeln sind?

Insgesamt gibt es also 36 verschiedene Kombinationen an Augenzahlen, die die beiden Würfeln zeigen können. Fangen wir mit dem ersten Ereignis, der 2, an: Welche Würfelkombinationen erfüllen dieses Ereignis? Offensichtlich nur \((1,1)\), denn 1+1=2. Also wird dieses Ereignis nur von einer einzigen Würfelkombination erfüllt von insgesamt 36 möglichen Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also \(\frac{1}{36}\). Dieses können wir in der Tabelle ergänzen:

                Ereigniss:   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Wahrscheinlichkeit:\(\frac{1}{36}\)

Zum besseren Verständnis machen wir noch ein Ereignis, und zwar die 6. Welche Würfelkombinationen erfüllen dieses Ereignis, also bei welchen Kombinationen erhältst du in der Summe eine 6? Es gilt: 1+5=6, 2+4=6, 3+3=6, 4+2=6, 5+1=6. Also erfüllen die Würfelkombinationen \(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\) dieses Ereignis. Also 5 Kombinationen von insgesamt möglichen 36 Kombinationen. Damit  beträgt die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis \(\frac{5}{36}\). Dieses können wir auch in der Tabelle ergänzen:

                 Ereigniss:   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Wahrscheinlichkeit:  \(\frac{1}{36}\)                \(\frac{5}{36}\)

Schaffst du es jetzt, die Tabelle zu ergänzen?

Bei Heiko gehst du dann genau so vor. Er würfelt nur einmal und verdoppelt die Augenzahl. Welche Zahlen erhält er dann alles? (Das sind die Ereignisse). Z.B. wenn er eine 3 würfelt und diese verdoppelt, erhält er eine 6. Würfelt er eine 5 und verdoppelt diese, so erhält er eine 10. Welche Möglichkeiten gibt es denn, die Heiko würfeln kann? Er kann ja Zahlen von 1 bis 6 würfeln. Und welche Zahlen erfüllen dabei welches Ereignis? Eine 3 kann er nach dem Verdoppeln ja nicht erhalten, denn dazu müsste er eine 1,5 würfeln. Eine 5 kann er ebenfalls nicht erhalten, denn dazu müsste er eine 2,5 würfeln. Aber eine 8 kann er erhalten - und zwar genau, wenn er eine 4 würfelt. Also gibt es eine Würfelmöglichkeit, mit der das Ereignis 8 erfüllt ist. Nämlich nur bei der 4 von insgesamt 6 Würfelmöglichkeiten. Das Ereignis 8 hat also eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\). Dazu musst du jetzt auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in Form der Tabelle aufschreiben. Schaffst du das jetzt alleine?

Anschließend berechnest du zu beiden Situationen den Erwartungswert und vergleichst diese sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 

Alles klar soweit?