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(1) Induktionsanfang: für \(n=1\) zeigen, dass die Aussage der Gleichung der Wahrheit entspricht.
(2) Induktionsvorraussetzung: für ein festes \(n\in \mathbb{N}\) soll die gegebene Gleichung erfüllt sein.
(3) Induktionsschritt: Die Gleichung muss auch für \(n+1\) erfüllt sein. Dabei muss die Induktionsvoraussetzung verwendet werden. Ein sinnvoller Anfang wäre:
\(\displaystyle{\prod_{i=1}^{n+1} \left(1+\dfrac{1}{n+i}\right) =\prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac{1}{n+i}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right) \overset{IV}{=} \left(2-\dfrac{1}{n+1}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right) = \ldots = 2-\dfrac{1}{n+2} =2-\dfrac{1}{(n+1)+1}}\)
Du musst nun nur noch den Term von links aus soweit umformen, dass du die Gleichung am Ende erhälst. Wenn du nicht mehr weiter kommst, überlege wie du von der rechten Seite (da wo du hinwillst) dahin kommst, wo du von links aus stehen geblieben bist. Versuch dich ab da vllt erstmal allein weiter.
Hoffe das hilft weiter.
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\(\displaystyle{\prod_{i=1}^{n+1} \left(1+\dfrac{1}{n+1+i}\right) =\prod_{i=2}^{n+2} \left(1+\dfrac{1}{n+i}\right)=\prod_{i=2}^n \left(1+\dfrac{1}{n+i}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{2n+1}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{2n+2}\right)=\prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac{1}{n+i}\right) \cdot \dfrac{\left(1+\frac{1}{2n+1}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{2n+2}\right)}{1+\frac{1}{n+1}} \overset{IV}{=} \left(2-\dfrac{1}{n+1}\right) \cdot \dfrac{\left(1+\frac{1}{2n+1}\right) \cdot \left(1+\frac{1}{2n+2}\right)}{1+\frac{1}{n+1}} =\ldots =2-\dfrac{1}{(n+1)+1}}\)
Sry für den Flüchtigkeitsfehler. Nun wird es auch etwas komplizierter das umstellen :D ─ maqu 22.12.2020 um 11:14
Für die Umstellung auf dem Weg dahin, bilde erstmal immer den Hauptnenner und multipliziere dann alles zusammen. Vereinfache dann alles und am Ende sollte es dann schon dastehen. ;D ─ maqu 22.12.2020 um 11:21