Der Anfang ist richtig, aber die Struktur geht dann durcheinander. Mach Dir stets klar (durch Hinschreiben!) was Du hast und was Du zeigen willst.

Zu zeigen ist: \(\alpha (u+v) + \beta (v+w)+\gamma (u+w)=0 \Longrightarrow \alpha=\beta=\gamma=0\).

Wir wissen: \(\lambda_1 u+\lambda_2 v+\lambda_3 w=0 \Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\).

Also fängt man, wie Du es auch gemacht hast, mit \(0=\alpha (u+v) + \beta (v+w)+\gamma (u+w) =....\). Umsortieren und dann das, was wir wissen (s.o. "Wir wissen") benutzen. Gibt ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Daraus sollte möglichst \(\alpha=\beta=\gamma=0\) folgen...

Alles klar?

Niemals(!) darf man als Annahme verwenden, was man zeigen will.