Wann stellt ein Polynom das Taylorpolynom einer Funktion dar?

Aufrufe: 706     Aktiv: 29.10.2020 um 12:03
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Augabe:

Es seien I c R ein Intervall f : I -> R eine (n + 1)-mal in I stetig differenzierbare Funktion und y ein innerer Punkt von I. Betrachten wir ein Polynom P, dessen Grad hochstens n ist, und für welches eine Konstante M und eine Umgebung U(x) von y existieren, sodass
|f(x) - P(x)| < M |x-y|^{n+1} für alle x Element U(y).

Zeigen Sie, dass P das n-te Taylor-Polynom von f um y ist.

Problem:

Wie kann ich dies nun beweisen? Offensichtlich ist die Differenz des Polynoms und f(x) das Restglied, welches abgeschätz wird. Muss ich nun zeigen, dass das Restglied gegen 0 kvgt oder wie zeige ich mit Hilfe dieser Ungleichung die Aufgabe?

 

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Sei \(Q\) das \(n\)-te Taylorpolynom und \(R\) das \(n\)-te
Restglied. Die Voraussetzung liefert
\(|Q(x)-P(x)|=|f(x)-R(x)-P(x)|\le|f(x)-P(x)|+|R(x)|\le
M|x-y|^{n+1}+|R(x)|\), also \(\lim_{x\to
  y}\frac{|Q(x)-P(x)|}{|x-y|^n}=0\).  Außerdem ist \(Q-P\) ein Polynom
höchstens \(n\)-ten Grades, also \(Q(x)-P(x)=\sum_{k=0}^nb_k(x-y)^n\)
mit gewissen Koeffizienten \(b_k\).  Zeige nun per Induktion über
\(k=0,1,\dots,n\), dass alle \(b_k\) verschwinden (d.h. gleich 0 sind).

Hilft das?

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Super! Vielen Dank!   ─   vzqxi 29.10.2020 um 12:03

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