zu 1) Taylorpolynom sagt man zu einer Taylorentwicklung die bei einem Exponenten n endet.
Bei n--> unendlich spricht man von Taylorreihe.
zu 2) das weiß man so von vornherein nicht. Das hängt ab von der Genauigkeit mit der man approximieren will.
Man kann die Taylorreihe schreiben als Taylorpolynom n.-Grades + R_n (Restglied). Jetzt kann man (evtl.) das Restglied abschätzen.
zu 3) wenn es immer nur 0 wäre, könnte man ja gleich 0 schreiben. Die Schreibweise \(x_0\) meint, dass auch um andere Werte als 0 entwickelt werden kann.
Anmerkung: man muss oftmals nicht hundert Ableitungen bilden, sondern erkennt so bei der 4. bis 5.Ableitung die Systematik der Koeffizienten.