Bei Extremwertaufgaben immer erstmal schauen, was überhaupt extrem sein soll. Hier ist es der Umfang. 

Jetzt überlegst du dir, wie du diese Größe normalerweise berechnen würdest, um wenn du alle notwendigen Werte dafür hättest. Das wird später deine Zielfunktion sein.

In diesem Fall überlegst du dir: den Umfang eines Rechtecks würde ich normalerweise mit dieser Formel berechnen:

\(u=2x+2y\) 

Wobei x und y die Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt schaust du dir die anderen Schlüsselwörter an und machst für sie eine Ähnliche Betrachtung. Das sind die Nebenbedingungen. Hier ist von einem Flächeninhalt die Rede und den berechnet du ja am Rechteck mittels 

\(A=x×y\)

Aber Moment: Der Flächeninhalt ist ja gegeben, also setzt du hier den Wert ein.

\(400=x×y\)

Jetzt beginnen wir von unten nach oben die Gleichungen jeweils nach einer Variable umzustellen und in alle anderen Gleichungen diese Variable mittels einsetzen zu eliminieren. Das geht hier recht einfach, da es nur zwei Gleichungen gibt (Nebenbedingung Flächeninhalt mit eingesetztem Wert und Zielfunktion). Manchmal gibt es auch mehr als eine Nebenbedingung, es funktioniert aber nach diesem Schema. 

Hier stellen wir also die Flächeninhaltsformel beispielsweise nach y um.

\(400=x×y => y=\frac{400}{x}\)

Diesen Wert für y schmeißen wir jetzt in unsere Zielfunktion.

\(u=2x+2y => u=2x+2\frac{400}{x}\)

Hurra, wir haben eine Formel für die Größe, welche extrem werden soll, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. Wir können sie also als Funktion dieser Unbekannten darstellen.

\(u(x)=2x+2\frac{400}{x}\)

Davon suchen wir jetzt die geforderte Extremstelle. Der Umfang sollte ja minimal sein, also suchen wir von dieser Funktion ein Minimum. Der Prozess sollte an dieser stelle klar sein. Du bildest die ersten beiden Ableitungen, setzt die erste null um mögliche Extremstellen zu erhalten und prüfst mit der zweiten Ableitung die Art dieser Extrema. Hier solltest du rausfinden, dass u(x) an der Stelle 20 ein Minimum besitzt.

Schließlich müssen wir uns noch überlegen, was das ganze bedeutet und wie wir jetzt die Frage beantworten müssen. In diesem Fall bedeutet das Ergebnis, dass der Umfang unseres Rechtecks genau dann minimal ist, wenn die Seite, die wir x genannt haben, eine Länge von 20 hat. Die Frage war aber nach beiden Seitenlängen, wir kennen jetzt nur die eine. Aus \(y=\frac{400}{x}\) (siehe oben) folgt aber, dass die Seite y dann auch 20 lang sein muss. Demzufolge ist hier die Figur tatsächlich sogar ein Quadrat mit Seitenlänge 20. 

Ein möglicher Antwortsatz wäre also: Alle Seiten des Rechtecks müssen 20m lang sein, damit der Umfang minimal wird.

Tipps am Rande: Je nach Aufgabenstellung kann es ausreichend sein, das Minimum der Funktion mittels eines geeigneten Taschenrechnerprogramms zu bestimmen. In dem Fall sparst du in der Schrittfolge den Teil mit den beiden Ableitungen. Aus Übungszwecken empfehle ich jedoch außerhalb von Prüfungen/Klausuren/usw. die Extremstellen immer mittels der ersten beiden Ableitungen zu bestimmen. Ob und wie sehr du in einer Prüfungssituation den Taschenrechner benutzen kannst, entnimmst du dem Operator in der Aufgabenstellung. 

Faustregel: gib an/nenne/ermittle/W-Frage: der Taschenrechner ist erlaubt. 

Zeige/beweise/berechne: Taschenrechner nur noch für Grundrechenarten (+,-,×,÷).

Stell dir die Formeln für A = Flächeninhalt und U = Umfang auf . Dann formst du A nach einer Unbekannten um und setzt diese in U ein. Dann wird dein U abgeleitet und =0 gesetzt  und du bestimmst das Minimum , indem du die 2. Ableitung betrachtest ( muss > 0 sein )! Klar soweit ? Oder wo hakt es noch ?