Binomialverteilung ausgerechnet.

Aufrufe: 785     Aktiv: 24.07.2020 um 22:52
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Liebe Leute des Mathefragen Forums.

 

Wiedereinmal habe ich eine Stelle in einem sehr gut erklärten Video von Jörn Loviscach in welchem ich nun trotzdem nicht weiterkomme, weil ein Teil der Erklärung (zumindest für mich) fehlt:

 

Hier mal der Versuch:

4 gezinkte Münzen

Wahrscheinlichkeiten für

Kopf: 0,7      Zahl: 0,3

Nun die Binomialverteilungsrechnung

P ( {X = 0}) = 0,3 * 0,3 * 0,3 * 0,3 = 0,3^4

P ( {X = 1}) = 4 * 0,7 * 0,3^3

P ( {X = 2}) = (4über2) * 0,7^2 * 0,3^2

P ( {X = 3}) = 4 * 0,7^3 * 0,3

P ( {X = 4}) = 0,7^4

 

Soweit so gut. Nun rechnet Jörn das ganze aus und es kommt eben heraus:

0 * 0,3^4

1 * 4 * 0,7 * 0,3^3

2 * (4über2) * 0,7^2 * 0,3^2

3 * 4 * 0,7^3 * 0,3

4 * 0,7^4

So nun meine holzköpfige Frage dazu: Warum wird im letzten Schritt hier jeweils mit dem Wert multipliziert den die Zufallsvariable annehmen kann? Also in dem Fall, 0, 1, 2, 3, und 4. Woher kommt diese Technik, bzw wie wird das begründet?

Hier noch das zugehörige Video.

https://youtu.be/XijOB3eoZ_I?t=1377

Herzlichen Dank und sonnige Grüße

 

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Guten Morgen :-)

Da, wo mit den Werten der Zufallsvariablen multipliziert wird, darfst du nicht übersehen, dass da auch jeweils noch ein + zwischen den einzelnen Rechnungen steht:

  0 * 0,3^4

+ 1 * 4 * 0,7 * 0,3^3

+ 2 * (4über2) * 0,7^2 * 0,3^2

+ 3 * 4 * 0,7^3 * 0,3

+ 4 * 0,7^4

Und damit kann man, wie es dabei steht, den Erwartungswert berechnen. Hier wird 2,8 herauskommen. Was man bei der Binomialverteilung auch einfach über n*p berechnen kann.

Das heißt, man kann bei vielfacher Durchführung des Versuchs, im Durchschnitt 2,8 Köpfe pro Versuch erwarten.

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Hallo. Ja stimmt, danke die Addition ist natürlich wichtig. Trotzdem "verstehe" ich noch nicht, wieso hier jeweils mit dem möglichen Wert der Zufallsvariable multipliziert wird.
:D

Vielleicht weil die Frage ist: Ereignis vs. Gegenereignis? Also K (für Kopf) und Z (für Zahl, also NICHT Kopf)?
Aber wie das hergeleitet wird geht nicht in meine Birne.
Ich würde es gerne "verstehen".

Liebe Grüße   ─   benitodilorenzo 24.07.2020 um 09:27
Hm ... :-) Die Zufallsvariable zählt ja hier in diesem Beispiel wie oft Kopf fällt. Das kann 0 bis 4 mal passieren. Wenn ich wissen will, welche Anzahl an Köpfen bei einem Versuch zu erwarten ist, dann muss man bei der Berechnung diese möglichen Werte der Zufallsvariable ja ins Spiel bringen. Das tut man, indem man sie entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit "gewichtet". Deshalb wird jeder Wert den X annehmen kann jeweils mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert, dass sie diesen annimmt.
Hilft das schon weiter? :-)   ─   andima 24.07.2020 um 09:42
Vielleicht noch ein Beispiel. Wenn ich in 4 Arbeiten zweimal eine 2, einmal eine 3 und einmal eine 4 schreibe, dann kann ich den Durchschnitt berechnen mit: (2*2+3*1+4*1)/4 oder anders formuliert mit: 2*(1/2)+3*(1/4)+4*(1/4). Man berechnet also die Summe der Produkte aus den unterschiedlichen Noten und jeweiliger relativer Häufigkeit.
Genau das passiert hier ja im Grunde auch: Die Summe der Produkte aus den Werten von X und ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit.   ─   andima 24.07.2020 um 10:11
Super. Ich bin vorhin unter der Dusche drauf gekommen. Ich glaube mein Denkfehler lag darin nicht auf dem Schirm zu haben, dass es sich hier bei der Binomialverteilung um eine Anzeige handelt "wieviel" mal "ja" für, zum Beispiel die Frage "Kopf" realisiert wird. Da ja bei der Binomialverteilung nur zwischen "Ja" und "Nein" unterschieden wird.
Danke es hat "Klick" gemacht. ;) Mathe ist einfach geil!   ─   benitodilorenzo 24.07.2020 um 15:06
Wunderbar ... ich find Mathe auch gut! :-)   ─   andima 24.07.2020 um 15:23
Ich finde es trotzdem immer noch schwer zu "verstehen". Am Beispiel der 0 verstehst du vielleicht warum. Wieso zum Beispiel rechnet sich die Null hier heraus. Zuerst gibt es eine relative Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Wurf von 4 (gezinkten) Münzen also auch der Fall eintreten kann, dass ich bei "0 mal Kopf" lande. Die Wahrscheinlich ist zwar gering, doch es gibt sie. Wenn ich dann aber "Aufsummiere" über die Addition der Produkte, dann fällt dieser Fall ja im letztlichen Erwartungswert heraus. Er wird einfach nicht mitaddiert. Wie kann sich dies erklären?

Liebe Grüße   ─   benitodilorenzo 24.07.2020 um 16:54
Es ist nicht so, dass dieser Fall nicht mitaddiert wird. Der Wert ist halt 0 und ist deshalb einfach sehr leicht zu addieren. Betrachten wir das Benotungssystem gymnasialer Oberstufe, da gibt es als Noten in einer Arbeit 0 bis 15 Punkte, zumindest in Baden Württemberg. :-) Wenn ich jetzt in 4 Arbeiten zweimal 0 Punkte schreibe, einmal 8 und einmal 10 Punkte, dann kann ich meinen Durchschnitt auch mit 0 * (1/2) + 8 * (1/4) + 10 * (1/4) berechnen. Dadurch, dass die 0 eine gewisse relative Häufigkeit bzw. eine Wahrscheinlichkeit für sich beansprucht, beeinflusst sie das Ergebnis, da diese Wahrscheinlichkeit in den anderen Fällen ja dann quasi fehlt. Auch wenn sich durch den Summand 0 die Summe an sich nicht ändert. Hilft das? :-)   ─   andima 24.07.2020 um 17:44
Ja vor allem wenn ich mir das ganze für sehr große Zahlen vorstelle, macht es natürlich Sinn. Ja das hilft. Danke und beste Grüße   ─   benitodilorenzo 24.07.2020 um 22:45
Gerne ... beste Grüße zurück :-)   ─   andima 24.07.2020 um 22:52

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