Zuerst einmal: Die Rechnung ist richtig! Was vereinfachen bedeutet, ist ja ziemlich subjektiv. Deshalb möchte ich Dir ein wenig "background" zu dieser Aufgabe geben. Diese Funtion ist eine Potentialfunktion (löst die Laplacesche partielle DGL). In der Physik ist \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) der sogenannte Ortsvektor. Wenn man seine partiellen Ableitungen kennt, kann man solche Strukturen, wie bei Dir sehr leicht ableiten, wobei wegen der Symmetrie nur f_x zu berechnen ist. Es gilt \(r_x =x/\sqrt{x^2+y^2+z^2} =x/r \). vertausche x mit y ergibt r_y usw.. Nun Deine Aufgabe, bei der nun f=1/r ist. Achtung Kettenregel!

\(f_x =f_r r_x = -(1/r^2) (x/r) \) und die zweite Ableitung analog. Übrigens, wenn man alle 3 zweiten partiellen Ableitungen f_xx, f_yy und f_zz addiert, erhält man null. das wäre dann eine "starke" Vereinfachung. Vielleicht hilf Dir das etwas auch bei ähnlichen Aufgaben. Du mußt nur die Ableitungen von r Dir merken.

Du hast doch schon f_xx. Mit meinem Hinweis ist das \(f_{xx} =(-1/r^3) +(3x^2/r^5) \). Analog erhältst Du \(f_{yy} =(-1/r^3) +(3y^2/r^5) \) und \(f_{zz} =(-1/r^3) +(3z^2/r^5) \). Jetzt alles Zusammendaddieren, was -3/r^3 für die jeweils ersten Terme und 3(x^2+y^2+z^2)/r^5 ergibt. Und in der Klammer steht nun r^2, so daß sich r^2 kürzt und alles null wird. Glaube mir den Trick mit dem r solltest Du Dir merken. Ach ja, noch ein Hinweis. Solche und viele andere Aufgaben findest Du mit Lösungen und Erklärungen in meinem Lehrbuch https://www.amazon.de/Mathematik-Klausurtrainer-Reinhard-Strehlow/dp/1973460513