Stetigkeit von Zusammengesetzten Funktionen zeigen

Aufrufe: 502     Aktiv: 22.09.2020 um 17:57
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Um die Stetigkeit in (0, 0) zu zeigen muss die stetigkeit von f1, f2 und f3 in diesen punkten jeweils einzeln gezeigt werden.

Ein Ausschnitt der Lösung, die ich dazu habe sieht folgendermaßen aus:

Ich verstehe den "Beweis" hier nicht. bei der Funktion f2 sieht es so aus würde man sich willkürlich Epsilon so definieren wie es ein gerade passt, was aber bei f3 nicht mehr zu gehen scheint.

Warum kann ich bei f3 nicht einfach auch sagen: Sei Epsilon > x^2 und Siehe da es konvergiert gegen 0 wenn epsilon gegen 0 strebt?

Vielen Dank für jede Hilfe.

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zu f2: Es ist anders herum. Es wird ein beliebiges eps>0 vorgeben und dann betrachtet man (x,y) mit \(\sqrt{x^2+y^2}\le \epsilon\). Denn man will ja schauen, was passiert in der Nähe von (0,0). Man wählt sich also kein eps, das ist (und muss sein) beliebig sein.

zu f3: Hier wäre es einfacher (finde ich) mit Folgen zu arbeiten:

Folge 1: \(u_n:=(\frac1n, \frac1n) \to (0,0)\) Dann \(f(u_n)= 0\to 0\).

Folge 2: \(u_n:=(\frac1n, 0)\to (0,0)\). Dann \(f(u_n)=1\not\to 0\).

Das widerspricht der Stetigkeit in (0,0). Im Prinzip wird genau das in der Lösung gemacht.

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