Da ist ein Fehler am Anfang. Vermutlich falsch abgeschrieben?

1: Man nutzt hier aus, dass \(|z|^2=z\overline{z}\) gilt. Das heißt, die Ungleichung muss erst quadriert werden. Dann steht in der zweiten Zeile \(\leq 4\) (Fehler).

2: Hier werden Zähler und Nenner einfach ausmultipliziert.

3: Hier wird mit dem Nenner multipliziert und dann minus der linken Seite gerechnet. Das liefert zunächst

\(z\overline{z}-3(z+\overline{z})+9\leq 4\big(z\overline{z}+3(z+\overline{z})+9\big)\) und dann

\(0\leq 3z\overline{z}+15(z+\overline{z})+27\).

Dann Division durch 3. 

4: Im letzten Schritt wird \(z=x+iy\) eingesetzt. Dabei nutzt man aus, dass \(z\overline{z}=x^2+y^2\) sowie \(z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)=2x\) gilt.