Hi.
Also der Buchstabe \( \omega \) heißt Omega.
Eine Funktion ist stetig diff'bar, falls die Ableitung überall existiert und diese stetig ist. Die Funktion \( f\) ist auch offensichtlich auf \( [0,2] \setminus \left\{ 1 \right\} \) stetig diff'bar.
Das heißt man muss nur den Punkt \( x_0 =1 \) überprüfen.
Dazu muss zunächst \( f \) bei \( x_0 =1 \) stetig seien. Man überprüft dazu, dass der rechtsseitige Grenzwert dem linksseitigen Grenzwert entspricht, daher kommt die Gleichung \( A \sin (\omega ) =1 \) .
Dann muss man noch prüfen, dass die Ableitung stetig ist. Dh. man leitet \(f \) einmal auf \( [0,1] \) und auf \( [1,2] \) ab, und überprüft, dass diese an der Stelle \( x_0 =1 \) übereinstimmen, daher die zweite Gleichung \( \omega A \cos (\omega ) = \omega \)
Und jetzt löst man diese Gleichungssystem.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Student, Punkte: 1K
Nun soll \(\omega\in[0,2]\) sein. Damit muss \(k=0\) gelten, denn für \(k=\pm1\) ist man bereits außerhalb dieses Intervalls.
Nun setzen wir \(\omega=\frac\pi4\) in die erste Gleichung ein. Es ist \(\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}\), darüber ergibt sich \(A=\sqrt2\). ─ sterecht 25.03.2020 um 18:17
\(\frac2{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}2=\sqrt2\), also bekommst du auch das richtige \(A\) raus.
Das \((-1)^k\) kommt daher, dass die Lösung nicht zuerst (so wie ich in meiner Antwort) \(\omega\) durch das Intervall bestimmt hat. Und \(\sin(\frac\pi4+k\pi)=-\frac{\sqrt2}2\), falls \(k\) ungerade. ─ sterecht 25.03.2020 um 20:59
Und was ist das Asin(ω) = 1 ⇒ A(−1)k/√2 = 1 ⇒ A = (−1)k√2 ?
Was ist nach dem ersten Pfeil passietr? ─ kamil 25.03.2020 um 21:37
Das kannst du dir aber eigentlich sparen, wenn du zuerst überlegst, welches \(\omega\) das richtige ist. ─ sterecht 25.03.2020 um 21:41
Und wie kommt man auf das letzte => A = (−1)k√2 ? A ist doch Wurzel aus 2.. D: ─ kamil 25.03.2020 um 23:20
Die Lösung findet den Wert für A, bevor sie überlegt was k sein muss. Deshalb taucht das k noch im Term für A auf, verschwindet dann aber im nächsten Schritt. ─ sterecht 26.03.2020 um 00:19
Danke für die Mühe Bro ! ─ kamil 26.03.2020 um 17:08